2017–2018 学年线性代数期中真题

#真题

源材料是三张已作答、已批改的卷面照片，标题为“线性代数期中考试《空间解析几何》部分”。手写内容不是单独发布的标准答案，因此我只转写印刷题目，不把学生作答反推成答案。

一、判断对错（每题 2 分，共 10 分）

  1. 若 a×b=a×c\boldsymbol a\times\boldsymbol b=\boldsymbol a\times\boldsymbol c，则 b=c\boldsymbol b=\boldsymbol c。（　　）

  2. 若 a⋅b=a⋅c\boldsymbol a\cdot\boldsymbol b=\boldsymbol a\cdot\boldsymbol c，则 b=c\boldsymbol b=\boldsymbol c。（　　）

  3. 方程

    (A1x+B1y+C1z+D1)2+(A2x+B2y+C2z+D2)2=0(A_1x+B_1y+C_1z+D_1)^2+(A_2x+B_2y+C_2z+D_2)^2=0

    表示一条空间直线。（　　）

  4. 方程

    x2a2−y2b2−z2c2+1=0\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}+1=0

    表示双叶双曲面。（　　）

  5. 直线 ll 与平面 π\pi 成 π4\dfrac\pi4 角，则过直线 ll 的平面束里有两个平面与 π\pi 成 π4\dfrac\pi4 角。（　　）

二、填空题（每题 5 分，共 50 分）

1. 三点确定平面

过点 (1,1,−1),(−2,−2,2),(1,−1,2)(1,1,-1),(-2,-2,2),(1,-1,2) 三点的平面方程是 ______。

2. 平面方程

过点 A(3,0,0)A(3,0,0) 和点 B(0,0,1)B(0,0,1)，且与 XOYXOY 面成 60∘60^\circ 角的平面方程为 ______。

3. 单位向量的内积

设 a,b,c\boldsymbol a,\boldsymbol b,\boldsymbol c 是单位向量，且满足

a+b+c=0,\boldsymbol a+\boldsymbol b+\boldsymbol c=0,

则 a⋅b+b⋅c+c⋅a=\boldsymbol a\cdot\boldsymbol b+\boldsymbol b\cdot\boldsymbol c+\boldsymbol c\cdot\boldsymbol a= ______。

4. 三角形面积

已知

OA→=2i+6k,OB→=2j+6k,\overrightarrow{OA}=2\boldsymbol i+6\boldsymbol k,\qquad \overrightarrow{OB}=2\boldsymbol j+6\boldsymbol k,

则三角形 △OAB\triangle OAB 的面积为 ______。

5. 旋转面

直线

L:x−10=y1=z1L:\frac{x-1}{0}=\frac y1=\frac z1

绕 zz 轴旋转生成的旋转面方程为 ______。

6. 投影曲线

两曲面 z=x2+y2z=x^2+y^2 和 z=2−x2−y2z=\sqrt{2-x^2-y^2} 的交线在 XOYXOY 面上的投影曲线方程是 ______。

7. 叉积

设 A(a,0,0),B(0,b,0),C(0,0,c)A(a,0,0),B(0,b,0),C(0,0,c)，则 AB→×AC→=\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}= ______。

8. 点到直线的距离

点 P(3,−1,2)P(3,-1,2) 到直线

{x+y−z+1=0,2x−y+z−4=0\begin{cases} x+y-z+1=0,\\ 2x-y+z-4=0 \end{cases}

的距离是 ______。

9. 向量三重积

设 a,b,c\boldsymbol a,\boldsymbol b,\boldsymbol c 是单位向量，且满足

a+b+c=0,\boldsymbol a+\boldsymbol b+\boldsymbol c=0,

则

|\boldsymbol a\times\boldsymbol b+ \boldsymbol b\times\boldsymbol c+ \boldsymbol c\times\boldsymbol a|=\text{______}.

10. 平行平面间距离

平面 A1x+B1y+C1z+D1=0A_1x+B_1y+C_1z+D_1=0 与平面 Ax+By+Cz+D2=0Ax+By+Cz+D_2=0 之间的距离是 ______。

三、计算与证明（每题 10 分，共 40 分）

1. 平行平面

求与平面 Ax+By+Cz+D=0Ax+By+Cz+D=0 平行且距离等于 dd 的平面方程。

2. 过直线的平面

求经过直线

L:{x+5y+z=0,x−z+4=0L:\begin{cases} x+5y+z=0,\\ x-z+4=0 \end{cases}

且与平面 π:4y−8z=8\pi:4y-8z=8 夹角为 π4\dfrac\pi4 的平面方程。

3. 三角形重心

源卷此处印作“三角形 ABCDABCD”，但题干同时说明“三条中线”并只使用 A,B,CA,B,C 三点，故按明显排印错误校为“三角形 ABCABC”。

设 GG 是三角形 ABCABC 的重心（三条中线的交点），OO 为坐标原点，证明向径公式

OG→=13(OA→+OB→+OC→).\overrightarrow{OG} =\frac13\left( \overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC} \right).

4. 向量三重积恒等式

证明对任意向量 a,b,c\boldsymbol a,\boldsymbol b,\boldsymbol c，有

a×(b×c)=(a⋅c)b−(a⋅b)c.\boldsymbol a\times(\boldsymbol b\times\boldsymbol c) =(\boldsymbol a\cdot\boldsymbol c)\boldsymbol b -(\boldsymbol a\cdot\boldsymbol b)\boldsymbol c.

附加题（10 分）

给定点 A(1,0,3)A(1,0,3) 和 B(0,2,5)B(0,2,5)，直线

l:x−12=y+11=z3.l:\frac{x-1}{2}=\frac{y+1}{1}=\frac z3.

设 A′,B′A',B' 分别为 A,BA,B 在直线 ll 上的垂足，求 ∣A′B′∣|A'B'|。

评论