2018–2019 学年线性代数期中真题

#真题

源目录保存了三份文件名不同、SHA-256 完全相同的扫描件，我只收录一次。扫描件未附答案，也没有拍到卷面日期；以下按四页题面转写，不补造解析。

一、判断题（每题 2 分，共 10 分）

  1. 对于两个向量 α,β\alpha,\beta，若 α⋅β=0\alpha\cdot\beta=0，则 α=0\alpha=0 或 β=0\beta=0。（　　）

  2. 设 α,β,γ\alpha,\beta,\gamma 是非零向量，则 (α×β)×γ=α×(β×γ)(\alpha\times\beta)\times\gamma=\alpha\times(\beta\times\gamma)。（　　）

  3. 方程

    (A1x+B1y+C1z+D1)2+(A2x+B2y+C2z+D2)2=0(A_1x+B_1y+C_1z+D_1)^2+(A_2x+B_2y+C_2z+D_2)^2=0

    表示一条空间直线。（　　）

  4. 对两个三阶行列式，逐项相加后所得行列式等于原来两个行列式之和。（　　）

  5. 行列式

    ∣023−204−3−40∣=0.\begin{vmatrix} 0&2&3\\ -2&0&4\\ -3&-4&0 \end{vmatrix}=0.

    （　　）

二、填空题（每题 4 分，共 24 分）

1. 方向角

设点 M1(4,2,1)M_1(4,\sqrt2,1) 和点 M2(3,0,2)M_2(3,0,2)，则 M1M2→\overrightarrow{M_1M_2} 的三个方向角分别为 ______。

2. 平面方程

过点 A(3,0,0)A(3,0,0) 和点 B(0,0,1)B(0,0,1)，且与 XOYXOY 面成 60∘60^\circ 角的平面方程为 ______。

3. 三角形面积

已知

OA→=2i+6k,OB→=2j+6k,\overrightarrow{OA}=2\boldsymbol i+6\boldsymbol k,\qquad \overrightarrow{OB}=2\boldsymbol j+6\boldsymbol k,

则三角形 △OAB\triangle OAB 的面积为 ______。

4. 旋转面

直线

x−10=y1=z1\frac{x-1}{0}=\frac y1=\frac z1

绕 zz 轴旋转生成的旋转面方程为 ______。

5. 逆序数

排列 a1a2a3a4a5a_1a_2a_3a_4a_5 的逆序数等于 44，则 a5a4a3a2a1a_5a_4a_3a_2a_1 的逆序数为 ______。

6. 四阶行列式

行列式

∣3−3711−1314−51032−452∣\begin{vmatrix} 3&-3&7&1\\ 1&-1&3&1\\ 4&-5&10&3\\ 2&-4&5&2 \end{vmatrix}

的值为 ______。

三、选择题（每题 4 分，共 24 分）

1. 向量关系

设 γ=(β×α)−β\gamma=(\beta\times\alpha)-\beta，其中 α≠0,β≠0\alpha\ne0,\beta\ne0，则（　　）。

A. α⊥(β+γ)\alpha\perp(\beta+\gamma)

B. α∥(β+γ)\alpha\parallel(\beta+\gamma)

C. β⊥γ\beta\perp\gamma

D. β∥γ\beta\parallel\gamma

2. 直线与平面的位置关系

设直线 ll 为两平面的交线：

{x+3y+2z+1=0,2x−y−10z+3=0,\begin{cases} x+3y+2z+1=0,\\ 2x-y-10z+3=0, \end{cases}

平面 π:4x−2y+z−2=0\pi:4x-2y+z-2=0，则 ll（　　）。

A. 垂直于 π\pi　B. 平行于 π\pi　C. 在 π\pi 上　D. 与 π\pi 斜交

3. 双曲抛物面

设 a>b>0a>b>0。若方程

(a−k)x2+(b−k)y2=z(a-k)x^2+(b-k)y^2=z

表示双曲抛物面，则必有（　　）。

A. k>ak>a　B. k<bk<b　C. k=ak=a 或 k=bk=b　D. b<k<ab<k<a

4. 平面的位置

平面 π:x−y=0\pi:x-y=0（　　）。

A. 平行于 xx 轴　B. 平行于 yy 轴　C. 平行于 zz 轴　D. 过 zz 轴

5. 参数方程组

若齐次线性方程组

{λx1+x2+x3=0,x1+λx2+x3=0,x1+x2+λx3=0\begin{cases} \lambda x_1+x_2+x_3=0,\\ x_1+\lambda x_2+x_3=0,\\ x_1+x_2+\lambda x_3=0 \end{cases}

有非零解，则 λ=\lambda=（　　）。

A. −2-2　B. 11　C. −2-2 或 11　D. 任意值

6. 代数余子式

设

D=∣1248248148128124∣,D= \begin{vmatrix} 1&2&4&8\\ 2&4&8&1\\ 4&8&1&2\\ 8&1&2&4 \end{vmatrix},

Ai4A_{i4} 为 DD 中元素 ai4a_{i4}（i=1,2,3,4i=1,2,3,4）的代数余子式，则

A14+2A24+4A34+8A44=（　　）.A_{14}+2A_{24}+4A_{34}+8A_{44}=\text{（　　）}.

A. 00　B. 11　C. 22　D. 44

四、向量组（8 分）

设向量

α=(−1,3,2),β=(2,−3,−4),γ=(−3,12,6).\alpha=(-1,3,2),\qquad \beta=(2,-3,-4),\qquad \gamma=(-3,12,6).

证明 α,β,γ\alpha,\beta,\gamma 共面，并用 α,β\alpha,\beta 线性表示 γ\gamma。

五、解答题（8 分）

给定点 A(1,0,3)A(1,0,3) 和 B(0,2,5)B(0,2,5)，直线

l:x−12=y+11=z3.l:\frac{x-1}{2}=\frac{y+1}{1}=\frac z3.

设 A′,B′A',B' 分别为 A,BA,B 在直线 ll 上的垂足，求 ∣A′B′∣|A'B'|。

六、解答题（8 分）

求经过直线

L:{x+5y+z=0,x−z+4=0L:\begin{cases} x+5y+z=0,\\ x-z+4=0 \end{cases}

且与平面 π:4y−8z=8\pi:4y-8z=8 夹角为 π4\dfrac\pi4 的平面方程。

七、解答题（8 分）

计算行列式

∣1+x11111−x11111+y11111−y∣.\begin{vmatrix} 1+x&1&1&1\\ 1&1-x&1&1\\ 1&1&1+y&1\\ 1&1&1&1-y \end{vmatrix}.

八、证明题（10 分）

证明：

∣1111abcda3b3c3d3a4b4c4d4∣=(ab+ac+ad+bc+bd+cd)(d−a)(d−b)(d−c)(c−a)(c−b)(b−a).\begin{vmatrix} 1&1&1&1\\ a&b&c&d\\ a^3&b^3&c^3&d^3\\ a^4&b^4&c^4&d^4 \end{vmatrix} =(ab+ac+ad+bc+bd+cd) (d-a)(d-b)(d-c)(c-a)(c-b)(b-a).

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