2018 年秋期中真题

#真题

试卷标注日期为 2018 年 11 月 17 日。以下按源卷转写，每题后的参考答案均来自同一源文件，默认折叠。

一、选择题（每小题 3 分，共 30 分）

1. 三角形类型

已知三角形的顶点为 A(1,−2,1),B(3,−3,−1),C(4,0,3)A(1,-2,1),B(3,-3,-1),C(4,0,3)，则 △ABC\triangle ABC 为（　　）。

A. 等边三角形　B. 等腰三角形　C. 直角三角形　D. 等腰直角三角形

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选 C。

2. 点是否在曲线上

已知曲线

{(x−1)2+y2+z2=36,y+z=0,\begin{cases} (x-1)^2+y^2+z^2=36,\\ y+z=0, \end{cases}

则以下各点中在曲线上的为（　　）。

A. (3,4,−4)(3,4,-4)　B. (−3,2,4)(-3,2,4)　C. (1,−4,4)(1,-4,4)　D. (2,3,−3)(2,3,-3)

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选 A。

3. 平面与球面相切

以下各组中的平面与球面相切的是（　　）。

A. z=3z=3，x2+y2+z2−6x+2y−10z+22=0x^2+y^2+z^2-6x+2y-10z+22=0

B. y=2y=2，x2+y2+z2+4x−2y−6z+13=0x^2+y^2+z^2+4x-2y-6z+13=0

C. x=5x=5，x2+y2+z2−2x+4y−2z−4=0x^2+y^2+z^2-2x+4y-2z-4=0

D. x+y+z=1x+y+z=1，x2+y2+z2+4x−6y+2z+12=0x^2+y^2+z^2+4x-6y+2z+12=0

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选 B。

4. 平面截二次曲面

如果平面 x+mz−1=0x+mz-1=0 与双叶双曲面 x2+y2−z2=−1x^2+y^2-z^2=-1 的交线是抛物线，则 mm 可以取（　　）。

A. 00　B. −1-1　C. 22　D. −3-3

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选 B。

5. 四边形判定

已知四边形 ABCDABCD 的顶点依次为 A(3,−1,2),B(1,2,−1),C(−1,1,−2),D(3,−5,4)A(3,-1,2),B(1,2,-1),C(-1,1,-2),D(3,-5,4)，则该四边形为（　　）。

A. 平行四边形　B. 非平面图形　C. 正方形　D. 梯形

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选 D。

6. 向量运算

下列关于向量的各式中正确的是（　　）。

A. (λa)⋅b=λ(a⋅b)(\lambda\boldsymbol a)\cdot\boldsymbol b=\lambda(\boldsymbol a\cdot\boldsymbol b)

B. (a⋅b)c=a(b⋅c)(\boldsymbol a\cdot\boldsymbol b)\boldsymbol c=\boldsymbol a(\boldsymbol b\cdot\boldsymbol c)

C. ∣a∣2∣b∣2=(a⋅b)2|\boldsymbol a|^2|\boldsymbol b|^2=(\boldsymbol a\cdot\boldsymbol b)^2

D. ∣a+b∣∣a−b∣=∣a2−b2∣|\boldsymbol a+\boldsymbol b||\boldsymbol a-\boldsymbol b|=|\boldsymbol a^2-\boldsymbol b^2|

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选 A。

7. 向量命题

以下命题不成立的是（　　）。

A. 如果 c⊥b\boldsymbol c\perp\boldsymbol b，则 (a+c)⋅b=a⋅b(\boldsymbol a+\boldsymbol c)\cdot\boldsymbol b=\boldsymbol a\cdot\boldsymbol b

B. 如果 c∥b\boldsymbol c\parallel\boldsymbol b，则 (a+c)×b=a×b(\boldsymbol a+\boldsymbol c)\times\boldsymbol b=\boldsymbol a\times\boldsymbol b

C. 如果 a+b+c=0\boldsymbol a+\boldsymbol b+\boldsymbol c=0，则 a×b=b×c=c×a\boldsymbol a\times\boldsymbol b=\boldsymbol b\times\boldsymbol c=\boldsymbol c\times\boldsymbol a

D. 如果 a×c=b×c\boldsymbol a\times\boldsymbol c=\boldsymbol b\times\boldsymbol c，且 c≠0\boldsymbol c\ne0，则 a=b\boldsymbol a=\boldsymbol b

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选 D。

8. 共面判定

下列各组向量中不共面的是（　　）。

A. (2,3,−1),(1,−1,3),(1,9,−11)(2,3,-1),(1,-1,3),(1,9,-11)

B. (2,−1,2),(1,2,−3),(3,−4,7)(2,-1,2),(1,2,-3),(3,-4,7)

C. (3,−2,1),(2,1,3),(3,−1,−2)(3,-2,1),(2,1,3),(3,-1,-2)

D. (−1,1,−4),(−2,0,2),(−3,1,−2)(-1,1,-4),(-2,0,2),(-3,1,-2)

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选 C。

9. 齐次方程组

齐次线性方程组

{x1+2x2+x3=0,2x1+x2+x3=0,2x2+3x3=0\begin{cases} x_1+2x_2+x_3=0,\\ 2x_1+x_2+x_3=0,\\ 2x_2+3x_3=0 \end{cases}

的解的情况为（　　）。

A. 无解　B. 只有零解　C. 有无穷多解　D. 无法判断

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选 B。

10. 带参数方程组

已知方程组

{x1+2x2+x3=1,2x1+3x2+(a+2)x3=3,x1+ax2−2x3=0\begin{cases} x_1+2x_2+x_3=1,\\ 2x_1+3x_2+(a+2)x_3=3,\\ x_1+ax_2-2x_3=0 \end{cases}

无解，则 a=a=（　　）。

A. −1-1　B. 00　C. 11　D. 22

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选 A。

二、填空题（每小题 4 分，共 20 分）

1. 标量投影

模长为 44 的向量 a\boldsymbol a 与单位向量 e\boldsymbol e 的夹角 α=23π\alpha=\dfrac23\pi，则 a\boldsymbol a 在 e\boldsymbol e 方向上的投影（数）为 ______。

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−2-2。

2. 四面体体积

四面体的顶点为 A(0,0,0),B(3,4,−1),C(2,3,5),D(6,0,−3)A(0,0,0),B(3,4,-1),C(2,3,5),D(6,0,-3)，则体积 V=V= ______。

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22.522.5。

3. 平面夹角

平面 Π1:2x−y+z−6=0\Pi_1:2x-y+z-6=0 与平面 Π2:x+y+2z−5=0\Pi_2:x+y+2z-5=0 的夹角 α=\alpha= ______。

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α=13π\alpha=\dfrac13\pi。

4. 直线参数方程

通过点 A(1,1,−2),B(3,−1,0)A(1,1,-2),B(3,-1,0) 的直线参数方程为 ______。

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可写为

{x=1+t,y=1−t,z=−2+t,\begin{cases} x=1+t,\\ y=1-t,\\ z=-2+t, \end{cases}

或等价地写为

{x=3+t,y=−1−t,z=t.\begin{cases} x=3+t,\\ y=-1-t,\\ z=t. \end{cases}

5. 齐次方程组

方程组

{x1−2x2+x3=0,x1+x2−2x3=0\begin{cases} x_1-2x_2+x_3=0,\\ x_1+x_2-2x_3=0 \end{cases}

的通解为 ______。

查看参考答案 (x1x2x3)=t(111).\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix} =t\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}.

三、证明题（8 分）

已知点 OO 是 △ABC\triangle ABC 的重心，证明

OA→+OB→+OC→=0.\overrightarrow{OA}+ \overrightarrow{OB}+ \overrightarrow{OC}=\boldsymbol0.
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令 DD 为 BCBC 边中点，则 DB→=−DC→\overrightarrow{DB}=-\overrightarrow{DC}。由重心定理，OA→=−2OD→\overrightarrow{OA}=-2\overrightarrow{OD}。又有

OB→=OD→+DB→,OC→=OD→+DC→.\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OD}+\overrightarrow{DB}, \qquad \overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OD}+\overrightarrow{DC}.

三式相加，得

OA→+OB→+OC→=−2OD→+2OD→+DB→+DC→=0.\overrightarrow{OA}+ \overrightarrow{OB}+ \overrightarrow{OC} =-2\overrightarrow{OD}+2\overrightarrow{OD} +\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{DC} =\boldsymbol0.

四、直线方程（10 分）

求通过点 A(1,1,1)A(1,1,1) 且与两条直线

L1:x1=y2=z+11,L2:x1=y+43=z+12L_1:\frac{x}{1}=\frac{y}{2}=\frac{z+1}{1}, \qquad L_2:\frac{x}{1}=\frac{y+4}{3}=\frac{z+1}{2}

都相交的直线 LL 的方程。

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将两条直线写成参数式：

L1:(t,2t,t−1),L2:(s,3s−4,2s−1).L_1:(t,2t,t-1), \qquad L_2:(s,3s-4,2s-1).

设交点分别为 M1,M2M_1,M_2。A,M1,M2A,M_1,M_2 共线，解得 t=0,s=2t=0,s=2，所求直线的方向向量可取 (1,1,2)(1,1,2)。因此

L:x−11=y−11=z−12.L:\frac{x-1}{1}=\frac{y-1}{1}=\frac{z-1}{2}.

五、平面方程（10 分）

求通过直线

L:{2x−z=0,x+y−z+5=0L:\begin{cases} 2x-z=0,\\ x+y-z+5=0 \end{cases}

且垂直于平面 Π:7x−y+4z−3=0\Pi:7x-y+4z-3=0 的平面方程。

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过 LL 的平面束为

(2+λ)x+λy−(1+λ)z+5λ=0.(2+\lambda)x+\lambda y-(1+\lambda)z+5\lambda=0.

它的法向量为 (2+λ,λ,−1−λ)(2+\lambda,\lambda,-1-\lambda)。与已知平面垂直，所以

7(2+λ)−λ−4(1+λ)=0,7(2+\lambda)-\lambda-4(1+\lambda)=0,

得 λ=−5\lambda=-5。所求平面为

3x+5y−4z+25=0.3x+5y-4z+25=0.

六、异面直线距离（10 分）

求两条直线之间的距离：

L1:x+53=y+52=z−1−2,L_1:\frac{x+5}{3}=\frac{y+5}{2}=\frac{z-1}{-2}, L2:{x=9+6t,y=−2t,z=2−t.L_2:\begin{cases} x=9+6t,\\ y=-2t,\\ z=2-t. \end{cases}
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L1,L2L_1,L_2 的方向向量分别是 s1=(3,2,−2)\boldsymbol s_1=(3,2,-2) 和 s2=(6,−2,−1)\boldsymbol s_2=(6,-2,-1)。过 L1L_1 且平行于 L2L_2 的平面法向量可取

n=s1×s2=(−6,−9,−18),\boldsymbol n=\boldsymbol s_1\times\boldsymbol s_2=(-6,-9,-18),

对应平面为

2(x+5)+3(y+5)+6(z−1)=0.2(x+5)+3(y+5)+6(z-1)=0.

取 L2L_2 上点 (3,2,3)(3,2,3)，它到该平面的距离即两异面直线距离：

d=∣2(3+5)+3(2+5)+6(3−1)∣22+32+62=7.d=\frac{|2(3+5)+3(2+5)+6(3-1)|}{\sqrt{2^2+3^2+6^2}}=7.

七、带参数方程组（12 分）

设方程组

{ax1+x2+x3=4,x1+bx2+x3=3,x1+2bx2+x3=4.\begin{cases} ax_1+x_2+x_3=4,\\ x_1+bx_2+x_3=3,\\ x_1+2bx_2+x_3=4. \end{cases}
  1. a,ba,b 取何值时，方程组有唯一解；
  2. a,ba,b 取何值时，方程组无解；
  3. a,ba,b 取何值时，方程组有无穷多解，并求通解。
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按源答案的列顺序重排未知量并做行变换，可化出两个关键因子 a−1a-1 与 bb。

  • 当 a≠1a\ne1 且 b≠0b\ne0 时，有唯一解。
  • 当 b=0b=0 时，无解。
  • 当 a=1a=1 且 b≠12b\ne\dfrac12 时，无解。
  • 当 a=1,b=12a=1,b=\dfrac12 时，有无穷多解，通解为
(x1x2x3)=k(−101)+(220).\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix} =k\begin{pmatrix}-1\\0\\1\end{pmatrix} +\begin{pmatrix}2\\2\\0\end{pmatrix}.

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