2018–2019 学年第一学期期末真题

卷面日期为 2019 年 1 月 17 日。题面来自无答案版，解析来自同目录的“答案终”版；以下保持原卷顺序，答案默认折叠。

一、选择题（每小题 2 分，共 24 分）

1. 行列式的列运算

若三阶方阵 $A=(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)$ 的行列式 $|A|=1$，则 $|2\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3-5\alpha_1|=$（　　）。

A. $-3$　B. $8$　C. $3$　D. $2$

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选 D。

2. 伴随矩阵

设 $A,B$ 是 $n$ 阶可逆方阵（$n>1$），$A^*,B^*$ 为其伴随矩阵，则下列运算正确的是（　　）。

A. $(AB)^*=A^*B^*$

B. $|-A|=-|A|$

C. $(A^*)^{-1}=(A^{-1})^*$

D. $(kB)^*=k^nB^*$

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选 C。

3. 相似矩阵的不变量

若 $A,B$ 是两个不同的 $n$ 阶方阵，且 $A$ 与 $B$ 相似，则二者之间不同的是（　　）。

A. 特征值　B. 行列式值　C. 秩　D. 特征向量

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选 D。

4. 实对称矩阵合同

若 $A,B$ 为 $n$ 阶实对称阵，则 $A$ 与 $B$ 合同的充要条件是（　　）。

A. 有相同特征值　B. 有相同秩　C. 有相同正、负惯性指数　D. 有相同行列式

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选 C。

5. 分块三角矩阵

设

$$A=\begin{pmatrix}B&O\\D&C\end{pmatrix},$$

其中 $B,C$ 为方阵，$O$ 为零矩阵。若 $A$ 可逆，则（　　）。

A. 只有 $B$ 可逆　B. 只有 $C$ 可逆　C. $B,C$ 可逆性不定　D. $B,C$ 都可逆

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选 D。

6. 线性变换判定

下列变换 $\sigma$ 是线性变换的是（　　）。

A. 在 $\mathbb R^3$ 中， $\sigma[(x_1,x_2,x_3)^T]=(x_1-x_3,x_2^2,x_3)^T$

B. 在 $\mathbb R^3$ 中， $\sigma[(x_1,x_2,x_3)^T]=(x_1+x_2,x_1-x_2,2x_3)^T$

C. 在 $\mathbb R^3$ 中， $\sigma[(x_1,x_2,x_3)^T]=(x_1+1,x_2,x_3)^T$

D. 在 $\mathbb R^{n\times n}$ 中，$A$ 为给定的 $n$ 阶非零方阵， $\sigma(X)=AX+A$

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选 B。

7. 秩—零度定理

设 $A$ 为 $m\times n$ 矩阵，令 $W=\{x\in\mathbb R^n\mid Ax=0\}$，则 $\dim W+R(A)=$（　　）。

A. $n$　B. $m$　C. $n-1$　D. $m-1$

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选 A。

8. 正交矩阵

设 $A$ 为 $n$ 阶正交矩阵，下列说法不正确的是（　　）。

A. $A^{-1}=A^T$

B. $A$ 的列向量组是单位正交向量组

C. $A^{-1}=A^*$（伴随矩阵）

D. $|A|=-1$ 或 $1$

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选 C。

9. 矩阵空间的子空间

设 $M_n$ 是所有 $n$ 阶矩阵在矩阵加法和数乘下构成的线性空间，下列集合能构成子空间的是（　　）。

A. 所有可逆矩阵　B. 所有对称矩阵　C. 所有正定矩阵　D. 所有正交矩阵

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选 B。

10. 矩阵乘积的秩

设 $A$ 是 $m\times n$ 矩阵，$B$ 是 $n\times m$ 矩阵，则（　　）。

A. 当 $m>n$ 时，必有 $|AB|=0$

B. 当 $m>n$ 时，必有 $|AB|\ne0$

C. 当 $m<n$ 时，必有 $|AB|=0$

D. 当 $m<n$ 时，必有 $|AB|\ne0$

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选 A。

11. $A^TA$ 与 $AA^T$

$A$ 为任意 $m\times n$ 阶实矩阵，下列说法正确的是（　　）。

A. $A^TA$ 不一定能相似于对角阵

B. $A^TA$ 是正交矩阵

C. $A^TA$ 与 $AA^T$ 有相同的迹

D. $A^TA$ 是正定矩阵

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选 C。

12. 分块矩阵的秩

设 $A$ 是 $n$ 阶方阵，$\alpha$ 是 $n$ 维列向量。若

$$R\begin{pmatrix}A&\alpha\\\alpha^T&0\end{pmatrix}=R(A),$$

则（　　）。

A. $Ax=\alpha$ 必有无穷多解

B. $Ax=\alpha$ 必有唯一解

C. $\begin{pmatrix}A&\alpha\\\alpha^T&0\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}=0$ 只有零解

D. 上述齐次分块方程必有非零解

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选 D。

二、填空题（每小题 2 分，共 12 分）

1. 矩阵高次幂

$$\begin{pmatrix}1&1&1\\2&2&2\\3&3&3\end{pmatrix}^{n}=\underline{\qquad}.$$

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$6^{n-1}A$，其中 $A$ 就是题中矩阵。

2. 特征值与行列式

若三阶方阵 $A$ 有两个特征值 $0,1$，且 $R(A+E)=2$，其中 $E$ 为单位阵，则 $|A^2+E|=$ ______。

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$4$。

3. 矩阵方程

已知

$$A=\begin{pmatrix}2&1\\-1&2\end{pmatrix},$$

$E$ 为二阶单位阵，矩阵 $B$ 满足 $BA=B+2E$，则 $B=$ ______。

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$$B=\begin{pmatrix}1&-1\\1&1\end{pmatrix}.$$

4. 参数向量组相关

已知 $\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$ 线性无关，且

$$\beta_1=\alpha_1-\alpha_3, \quad \beta_2=\alpha_1+2\alpha_2+\alpha_3, \quad \beta_3=t\alpha_1+\alpha_2-\alpha_3$$

线性相关，则 $t=$ ______。

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$2$。

5. Vandermonde 型行列式

$$\begin{vmatrix} 1&1&1&\cdots&1\\ 2&2^2&2^3&\cdots&2^n\\ 3&3^2&3^3&\cdots&3^n\\ \vdots&\vdots&\vdots&&\vdots\\ n&n^2&n^3&\cdots&n^n \end{vmatrix}=\underline{\qquad}.$$

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$$n!\prod_{1\le i<j\le n}(j-i)=\prod_{k=1}^{n}k!.$$

6. Jordan 标准形

设三阶方阵 $A$ 的特征值为 $2,2,1$，且不可相似于对角阵，则其 Jordan 标准形为 ______。

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可写成

$$\begin{pmatrix}2&1&0\\0&2&0\\0&0&1\end{pmatrix};$$

把两个 Jordan 块调换顺序也等价。

三、判断题（每小题 1 分，共 11 分）

1. 任意线性变换都可以把线性空间的一组基映射为一组基。
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   错误。
2. 若 $V_1,V_2$ 是 $n$ 维线性空间中的两个 $m$ 维子空间（$0<m<n$），则 $V_1=V_2$。
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   错误。
3. 若 $A$ 是正交矩阵，则 $A^{-1}A^*$ 不一定是正交矩阵。
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   错误。
4. 任何两个维数相等的欧氏空间都是同构的。
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   正确。
5. 若矩阵 $C,D$ 有相同的秩，则 $C$ 经过初等变换可以得到 $D$。
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   错误。
6. 若 $A$ 与 $B$ 相似，$f(x)$ 是非零多项式，则 $f(A)$ 与 $f(B)$ 相似。
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   正确。
7. 若 $A$ 与 $B$ 合同，$A$ 是正定矩阵，则 $B$ 也是正定矩阵。
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   正确。
8. 若 $\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$ 中任意两个向量线性无关，则三者一定线性无关。
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   错误。
9. 设 $A,B,C$ 是三个四阶方阵，$|C|\ne0$ 且 $ACB=0$，则 $R(A)+R(B)+R(C)$ 可能为 $9$。
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   错误。
10. 若矩阵 $A\ne0,B\ne0$，则 $AB\ne0$。
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    错误。
11. 若 $n$ 元齐次方程组 $A_{m\times n}x=0$ 只有零解，则 $A_{m\times n}x=b$ 必有唯一解。
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    错误。

四、计算题（每小题 6 分，共 18 分）

1. 子空间的标准正交基

设 $\mathbb R^4$ 中由

$$\alpha_1=(1,1,1,0)^T, \quad \alpha_2=(1,0,2,1)^T, \quad \alpha_3=(1,2,3,2)^T$$

生成的空间为 $W$。求 $W$ 的维数与一组基，并求一组标准正交基。

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三个向量线性无关，故 $\dim W=3$，它们本身就是一组基。Gram–Schmidt 正交化后可取

$$\eta_1=\frac1{\sqrt3}(1,1,1,0)^T, \quad \eta_2=\frac1{\sqrt3}(0,-1,1,1)^T, \quad \eta_3=\frac1{\sqrt3}(-1,1,0,1)^T.$$

2. 分块矩阵与行列式

设 $A$ 为 $n$ 阶可逆矩阵，$\alpha,\beta$ 均为 $n$ 维列向量。记

$$P=\begin{pmatrix}E&O\\-\alpha^TA^*&|A|\end{pmatrix}, \qquad Q=\begin{pmatrix}A&\beta\\\alpha^T&1\end{pmatrix},$$

其中 $E$ 为单位阵，$A^*$ 为伴随矩阵。

1. 计算并化简 $PQ$ 为分块上三角阵；
2. 求 $|Q|$。

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利用 $A^*A=|A|E$，

$$PQ=\begin{pmatrix}A&\beta\\O&|A|-\alpha^TA^*\beta\end{pmatrix}.$$

比较两边行列式，得到

$$|Q|=|A|-\alpha^TA^*\beta =|A|\bigl(1-\alpha^TA^{-1}\beta\bigr).$$

3. 对称矩阵的谱

设三阶实对称阵 $A$ 的各行元素之和均为 $2$，且

$$\alpha_1=(-1,2,-1)^T, \qquad \alpha_2=(0,-1,1)^T$$

是 $Ax=0$ 的两个解向量。

1. 求 $A$ 的特征值与特征向量；
2. 求 $(A-E)^{10}$。

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$\alpha_1,\alpha_2$ 是属于特征值 $0$ 的两个线性无关特征向量；行和为 $2$ 说明 $\alpha_3=(1,1,1)^T$ 是属于特征值 $2$ 的特征向量。因此谱为 $0,0,2$。

$A-E$ 的特征值为 $-1,-1,1$，又可对角化，所以

$$(A-E)^{10}=E.$$

五、求解题（每小题 9 分，共 27 分）

1. 矩阵子空间的交与和

在所有二阶方阵构成的线性空间中，设

$$A_1=\begin{pmatrix}1&2\\1&0\end{pmatrix}, \quad A_2=\begin{pmatrix}-1&1\\1&1\end{pmatrix},$$ $$B_1=\begin{pmatrix}2&-1\\0&1\end{pmatrix}, \quad B_2=\begin{pmatrix}1&-1\\3&7\end{pmatrix}.$$

$W_1=L(A_1,A_2)$，$W_2=L(B_1,B_2)$。求 $W_1\cap W_2$ 与 $W_1+W_2$ 的维数及一组基。

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令 $x_1A_1+x_2A_2=x_3B_1+x_4B_2$。对应齐次方程的基础解可取 $(-1,4,3,-1)^T$，故

$$W_1\cap W_2=L(-A_1+4A_2) =L\left(\begin{pmatrix}-5&2\\3&4\end{pmatrix}\right),$$

交空间维数为 $1$。四个生成矩阵整体的秩为 $3$，所以 $\dim(W_1+W_2)=3$，可取基 $A_1,A_2,B_1$（或把 $B_1$ 换成 $B_2$）。

2. 线性变换的对角化

数域 $F$ 上三维线性空间 $V$ 的线性变换 $\sigma$ 满足

$$\sigma(\varepsilon_1)=2\varepsilon_1+\varepsilon_2+\varepsilon_3, \quad \sigma(\varepsilon_2)=2\varepsilon_2, \quad \sigma(\varepsilon_3)=-\varepsilon_2+\varepsilon_3.$$

1. 求 $\sigma$ 在基 $(\varepsilon_1,\varepsilon_2,\varepsilon_3)$ 下的矩阵 $A$；
2. 判断 $A$ 能否对角化；若能，求 $P$ 使 $P^{-1}AP$ 为对角阵；
3. 求一组使 $\sigma$ 的矩阵为对角阵的基。

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$$A=\begin{pmatrix}2&0&0\\1&2&-1\\1&0&1\end{pmatrix}.$$

特征值为 $1,2,2$。可分别取特征向量

$$\alpha_1=(0,1,1)^T, \quad \alpha_2=(0,1,0)^T, \quad \alpha_3=(1,0,1)^T.$$

三者线性无关，故可对角化。令

$$P=(\alpha_1\ \alpha_2\ \alpha_3) =\begin{pmatrix}0&0&1\\1&1&0\\1&0&1\end{pmatrix},$$

则 $P^{-1}AP=\operatorname{diag}(1,2,2)$。所求基为 $\varepsilon_2+\varepsilon_3,\varepsilon_2,\varepsilon_1+\varepsilon_3$。

3. 含参数二次型

已知

$$f(x_1,x_2,x_3)=4x_1^2+\left(2+\frac a2\right)x_2^2 +\left(2+\frac a2\right)x_3^2+(4-a)x_2x_3.$$

1. 求二次型的矩阵及其秩；
2. 当秩为 $2$ 时，求正交变换 $x=Qy$，把 $f$ 化为标准形；
3. 说明它是否为正定二次型。

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$$A=\begin{pmatrix} 4&0&0\\ 0&2+\frac a2&2-\frac a2\\ 0&2-\frac a2&2+\frac a2 \end{pmatrix}.$$

其特征值为 $4,4,a$。因此 $a=0$ 时秩为 $2$，$a\ne0$ 时秩为 $3$。

当 $a=0$ 时，可取

$$Q=\begin{pmatrix} 1&0&0\\ 0&\frac1{\sqrt2}&\frac1{\sqrt2}\\ 0&\frac1{\sqrt2}&-\frac1{\sqrt2} \end{pmatrix},$$

得到标准形 $f=4y_1^2+4y_2^2$。一般地，二次型在 $a>0$ 时正定；题设秩为 $2$ 的情形 $a=0$ 不是正定，而是半正定。

六、证明题（每小题 4 分，共 8 分）

1. 反对称矩阵

设 $A$ 为 $n$ 阶反对称阵，证明：对任意 $n$ 维列向量 $x$，均有 $x^TAx=0$，并且 $A+E$ 可逆。

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$x^TAx$ 是标量，转置后

$$x^TAx=(x^TAx)^T=x^TA^Tx=-x^TAx,$$

所以它等于 $0$。若 $(A+E)x=0$，左乘 $x^T$ 得 $x^TAx+x^Tx=0$，即 $x^Tx=0$，从而 $x=0$。齐次方程只有零解，故 $A+E$ 可逆。

2. 正交单位向量构造的矩阵

设实三维单位列向量 $\alpha,\beta$ 正交，令

$$A=\alpha\beta^T+\beta\alpha^T.$$

证明 $1$ 和 $0$ 是 $A$ 的特征值。

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因为 $\alpha^T\alpha=\beta^T\beta=1$ 且 $\alpha^T\beta=0$，

$$A(\alpha+\beta)=\alpha+\beta,$$

所以 $1$ 是特征值。又可取非零向量 $\gamma$ 同时正交于 $\alpha,\beta$，则 $A\gamma=0$，所以 $0$ 也是特征值。