2019 年秋期中真题

#真题

题面转写自源目录中的《工科高代 2019 年秋期中试题》。源文件是扫描件，未附答案；我逐页校对后转写，不补造解答。

一、选择题（每小题 3 分，共 30 分）

  1. 下列关于向量的运算不正确的是（　　）。

    A. a×b=−b×a\boldsymbol a\times\boldsymbol b=-\boldsymbol b\times\boldsymbol a

    B. (a+b)⋅(a−b)=a2−b2(\boldsymbol a+\boldsymbol b)\cdot(\boldsymbol a-\boldsymbol b)=\boldsymbol a^2-\boldsymbol b^2

    C. [a,b,c]=−[b,a,c][\boldsymbol a,\boldsymbol b,\boldsymbol c]=-[\boldsymbol b,\boldsymbol a,\boldsymbol c]

    D. a×(b×c)=(a×b)×c\boldsymbol a\times(\boldsymbol b\times\boldsymbol c)=(\boldsymbol a\times\boldsymbol b)\times\boldsymbol c

  2. 已知线性方程组

(12123a+21a−2)(x1x2x3)=(130)\begin{pmatrix} 1&2&1\\ 2&3&a+2\\ 1&a&-2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1\\3\\0\end{pmatrix}

无解，则 a=a=（　　）。

A. −1-1　B. 00　C. 11　D. 22

  1. 设 AA 是 m×nm\times n 阶矩阵，方程组 Ax=bA\boldsymbol x=\boldsymbol b 有解，则（　　）。

    A. Ax=bA\boldsymbol x=\boldsymbol b 有唯一解时 m=nm=n

    B. Ax=bA\boldsymbol x=\boldsymbol b 有唯一解时，AA 的列向量线性无关

    C. Ax=bA\boldsymbol x=\boldsymbol b 有无穷多解时，Ax=0A\boldsymbol x=0 只有零解

    D. Ax=bA\boldsymbol x=\boldsymbol b 有无穷多解时，AA 的列向量线性无关

  2. 线性方程组

{x1−x2=a,x2−x3=2a,x3−x4=3a,x4−x1=1\begin{cases} x_1-x_2=a,\\ x_2-x_3=2a,\\ x_3-x_4=3a,\\ x_4-x_1=1 \end{cases}

有解的充分必要条件是 a=a=（　　）。

A. −1-1　B. 11　C. −16-\dfrac16　D. 16\dfrac16

  1. 已知向量 a,b\boldsymbol a,\boldsymbol b 满足 ∣a∣=13,∣b∣=19,∣a+b∣=24|\boldsymbol a|=13,|\boldsymbol b|=19,|\boldsymbol a+\boldsymbol b|=24，则 ∣a−b∣=|\boldsymbol a-\boldsymbol b|=（　　）。

    A. 55　B. 66　C. 99　D. 2222

  2. 设点 OO 是 A,B,CA,B,C 三点所确定的平面外一点，则点 DD 与 A,B,CA,B,C 共面的充分必要条件是（　　）。

    A. OD→=λOA→+μOB→+νOC→\overrightarrow{OD}=\lambda\overrightarrow{OA}+\mu\overrightarrow{OB}+\nu\overrightarrow{OC}，λ+μ+ν=0\lambda+\mu+\nu=0

    B. OD→=λOA→+μOB→+νOC→\overrightarrow{OD}=\lambda\overrightarrow{OA}+\mu\overrightarrow{OB}+\nu\overrightarrow{OC}，λ+μ+ν=1\lambda+\mu+\nu=1

    C. OD→=λOA→+μOB→+νOC→\overrightarrow{OD}=\lambda\overrightarrow{OA}+\mu\overrightarrow{OB}+\nu\overrightarrow{OC}，λ+μ+ν=2\lambda+\mu+\nu=2

    D. OD→=λOA→+μOB→+νOC→\overrightarrow{OD}=\lambda\overrightarrow{OA}+\mu\overrightarrow{OB}+\nu\overrightarrow{OC}，λ+μ+ν=3\lambda+\mu+\nu=3

  3. 已知向量 a,b\boldsymbol a,\boldsymbol b 满足 ∣a∣=3,∣b∣=5|\boldsymbol a|=3,|\boldsymbol b|=5，则当 λ=\lambda=（　　）时，a+λb\boldsymbol a+\lambda\boldsymbol b 与 a−λb\boldsymbol a-\lambda\boldsymbol b 互相垂直。

    A. 00　B. ±15\pm\dfrac15　C. ±35\pm\dfrac35　D. ±1\pm1

  4. 已知点 D,ED,E 分别在 △ABC\triangle ABC 的边 BC,CABC,CA 上，且 BD=13BC,CE=13CABD=\dfrac13BC,CE=\dfrac13CA，ADAD 与 BEBE 相交于 GG，则正确的关系式是（　　）。

    A. GD→=17AD→\overrightarrow{GD}=\dfrac17\overrightarrow{AD}

    B. GD→=17AG→\overrightarrow{GD}=\dfrac17\overrightarrow{AG}

    C. GE→=37BE→\overrightarrow{GE}=\dfrac37\overrightarrow{BE}

    D. GE→=57BE→\overrightarrow{GE}=\dfrac57\overrightarrow{BE}

  5. 已知点 M1(3,4,−4),M2(−3,2,4),M3(−1,−4,4),M4(2,3,−3)M_1(3,4,-4),M_2(-3,2,4),M_3(-1,-4,4),M_4(2,3,-3)，则这四个点恰有（　　）个在曲线

{(x−1)2+y2+z2=36,y+z=0\begin{cases} (x-1)^2+y^2+z^2=36,\\ y+z=0 \end{cases}

上。

A. 11　B. 22　C. 33　D. 44

  1. 以下两条直线的位置关系为（　　）：
L1:{x+z−1=0,x−2y+3=0,L2:{3x+y−z+13=0,y+2z−8=0.L_1:\begin{cases}x+z-1=0,\\x-2y+3=0, \end{cases} \qquad L_2:\begin{cases}3x+y-z+13=0,\\y+2z-8=0. \end{cases}

A. 异面　B. 平行　C. 相交但不重合　D. 重合

二、填空题（每小题 4 分，共 20 分）

  1. 已知两点 A(0,0,a)A(0,0,a) 和 B(0,0,−a)B(0,0,-a)，则到它们距离平方和为 4a24a^2 的点的轨迹方程为 ______。

  2. 平行六面体共起点的三条棱分别由向量 a=(5,−3,2),b=(−6,3,2),c=(−8,6,−5)\boldsymbol a=(5,-3,2),\boldsymbol b=(-6,3,2),\boldsymbol c=(-8,6,-5) 构成，则此平行六面体的体积为 ______。

  3. 直线

L:{x−2y+3z−4=0,3x+2y−5z−4=0L:\begin{cases} x-2y+3z-4=0,\\ 3x+2y-5z-4=0 \end{cases}

的对称式方程为 ______。

  1. 设四阶方阵 A=(α1,α2,α3,α4)A=(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4) 的四个列向量线性无关，且 β=α1−α2+α3−α4\beta=\alpha_1-\alpha_2+\alpha_3-\alpha_4，则 Ax=βA\boldsymbol x=\beta 的解为 ______。

  2. 设 AA 为三阶方阵，并且 AA 的列向量组的秩为 22，α1,α2,α3\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3 是线性方程组 Ax=bA\boldsymbol x=\boldsymbol b（b≠0\boldsymbol b\ne0）的解。已知

α1+α2=(131),α3=(010),\alpha_1+\alpha_2=\begin{pmatrix}1\\3\\1\end{pmatrix}, \qquad \alpha_3=\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix},

则 Ax=bA\boldsymbol x=\boldsymbol b 的通解为 ______。

三、证明题（8 分）

如果三个向量 a,b,c\boldsymbol a,\boldsymbol b,\boldsymbol c 满足

a×b+b×c+c×a=0,\boldsymbol a\times\boldsymbol b +\boldsymbol b\times\boldsymbol c +\boldsymbol c\times\boldsymbol a=0,

证明 a,b,c\boldsymbol a,\boldsymbol b,\boldsymbol c 共面。

四、计算题（10 分）

求下列两条直线的公垂线方程：

L1:x−12=y−23=z−34,L2:x−23=y−44=z−55.L_1:\frac{x-1}{2}=\frac{y-2}{3}=\frac{z-3}{4}, \qquad L_2:\frac{x-2}{3}=\frac{y-4}{4}=\frac{z-5}{5}.

五、证明与计算（10 分）

证明两条直线

L1:x−13=y+2−3=z−54,L_1:\frac{x-1}{3}=\frac{y+2}{-3}=\frac{z-5}{4}, L2:{x=3t+7,y=2t+2,z=−2t+1L_2:\begin{cases} x=3t+7,\\ y=2t+2,\\ z=-2t+1 \end{cases}

位于同一平面上，并求这个平面的方程。

六、计算题（10 分）

求线性方程组的通解：

{x1+2x3−x4=2,−x1+x2−3x3+2x4=−3,2x1−x2+5x3−3x4=5.\begin{cases} x_1+2x_3-x_4=2,\\ -x_1+x_2-3x_3+2x_4=-3,\\ 2x_1-x_2+5x_3-3x_4=5. \end{cases}

七、讨论题（12 分）

设有方程组

{x1+x3=2,x1+2x2−x3=0,2x1+x2−ax3=b.\begin{cases} x_1+x_3=2,\\ x_1+2x_2-x_3=0,\\ 2x_1+x_2-ax_3=b. \end{cases}
  1. a,ba,b 取何值时，方程组有唯一解；
  2. a,ba,b 取何值时，方程组无解；
  3. a,ba,b 取何值时，方程组有无穷多解，并求出通解。

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