2019 年期末真题

源文件名为《2019 期末试卷》，卷面未另印日期，且没有附参考答案。我只按扫描件转写题目，不补造答案。

一、选择题（每小题 2 分，共 24 分）

1. 设 $A$ 是 $m\times n$ 矩阵，则 $m<n$ 是齐次线性方程组 $AX=0$ 有非零解的（　　）。

   A. 充分条件　B. 必要条件　C. 等价条件　D. 不充分条件

2. $A$ 是 $n$ 阶方阵，则 $|A|=0$ 是齐次线性方程组 $AX=0$ 有非零解的（　　）。

   A. 等价条件　B. 充分条件　C. 必要条件　D. 不等价条件

3. 设 $A=A_{3\times1},B=B_{1\times3}$，则 $|AB|=$（　　）。

   A. $|A||B|$　B. $0$　C. $|BA|$　D. 不确定

4. 若三阶阵 $A=(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)$ 的行列式 $|A|=1$，则 $|\alpha_1,2\alpha_2,3\alpha_3-\alpha_1|=$（　　）。

   A. $2$　B. $6$　C. $3$　D. $1$

5. $A=A_{m\times n}$ 为实矩阵，令 $W=\{x\in\mathbb R^n\mid Ax=0\}$，则 $\dim W+\operatorname{rank}(A)=$（　　）。

   A. $m+n$　B. $m-n$　C. $n$　D. $m$

6. 设 $A$ 为 $n$ 阶正交阵，下列说法正确的是（　　）。

   A. $|A|=1$

   B. $A^T=A^*$（伴随阵）

   C. $A^{-1}=A^T$

   D. $A^*A=I$

7. $A$ 是 $n$ 阶实方阵，$x$ 是 $\mathbb R^n$ 中的列向量，则 $x^TA^TAx=$（　　）。

   A. 模长 $|Ax|$　B. 模长 $|x|$　C. $|x|^2$　D. $|Ax|^2$

8. $A$ 为实矩阵，则方程组（I）$Ax=0$ 与（II）$A^TAx=0$（　　）。

   A. 有不同的解　B. 解集不同

   C. $r(A)\ne r(A^TA)$　D. （I）与（II）的解相同

9. $\lambda_1$ 是方阵 $A$ 的 $k$ 重特征值，则特征子空间 $W=\{x\mid(A-\lambda_1I)x=0\}$ 的维数（　　）。

   A. 不大于 $k$　B. 大于 $k$　C. 不大于 $n-k$　D. 等于 $n-k$

10. 设 $\varphi$ 是线性映射，且 $\varphi(X),\varphi(Y)$ 线性无关，则 $X,Y$（　　）。

    A. 不一定无关　B. 线性相关　C. 线性无关　D. 不确定

11. 若 $n$ 个线性无关向量 $\varepsilon_1,\ldots,\varepsilon_n$ 可由向量组 $A=\{\alpha_1,\ldots,\alpha_s\}$ 线性表出，则秩 $r(A)$（　　）。

    A. 等于 $n$　B. 大于 $n$　C. 小于 $n$　D. 不确定

12. 若 $A$ 是实对称正定阵（$A>0$），则下列说法错误的是（　　）。

    A. $A$ 的特征值都是正数

    B. $A$ 的主子式都是正的，特别地 $|A|>0$

    C. 存在可逆阵 $P$，使 $A=P^TP$ 或 $A=PP^T$

    D. $A$ 的元素都是正的（$a_{ij}>0$）

二、填空题（每小题 2 分，共 16 分）

1. 若 $n$ 阶方阵 $A$ 有 $n$ 个线性无关的特征向量，则 $A$ 相似于 ______。

2. 若三阶方阵 $A$ 的三个特征值为 $1,1,2$，$I$ 为单位阵，则 $|A^2+I|=$ ______。

3. 欧氏空间 $\mathbb R^n$ 中向量 $\alpha,\beta$ 满足 $\|\alpha-\beta\|^2=\|\alpha+\beta\|^2$，则内积 $(\alpha,\beta)=$ ______。

4. 若向量 $\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$ 可被 $v_1,v_2$ 线性表示，则 $\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$ 线性 ______（相关或无关）。

5. $\mathbb R^2$ 中线性变换 $\varphi$ 对基 $[\varepsilon_1,\varepsilon_2]$ 的作用为 $\varphi(\varepsilon_1)=\varepsilon_1+2\varepsilon_2$， $\varphi(\varepsilon_2)=2\varepsilon_1+\varepsilon_2$，则 $\varphi$ 在该基下的矩阵 $B=$ ______。

6. 设三阶实对称阵 $A$ 的特征值为 $2,2,1$，则其 Jordan 形 $J_A=$ ______。

7. $\mathbb R^3$ 中，从基 $[2\alpha_1,3\alpha_2,4\alpha_3]$ 到基 $[4\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3]$ 的过渡矩阵 $P=$ ______。

8. 若向量 $\alpha_1,\alpha_2$ 线性无关， $\beta_1=\alpha_1-t\alpha_2$，$\beta_2=\alpha_2-t\alpha_1$ 线性相关， 则 $t=$ ______。

三、判断题（每小题 1 分，共 10 分）

1. 若有 $P^{-1}AP=D$ 为对角阵，则 $P$ 中各列都是 $A$ 的特征向量。（　　）
2. 线性变换把一组线性无关的向量映射成一组线性无关的向量。（　　）
3. 若 $A$ 与 $B$ 合同，$A$ 是正定阵，则 $B$ 也是正定阵。（　　）
4. 若 $A$ 与 $B$ 相似，$A$ 是正定矩阵，则 $B$ 也是正定矩阵。（　　）
5. 若 $A,B$ 是同阶正交阵，则 $AB$ 也是正交矩阵。（　　）
6. $A=\begin{pmatrix}2&1\\-1&0\end{pmatrix}$ 的最小多项式为 $m(\lambda)=(\lambda-1)^2$。（　　）
7. $A,B$ 都是 $n$ 阶阵，且 $AB=0$，则 $r(A)+r(B)\le n$。（　　）
8. 若 $n$ 元线性方程组 $A_{3n\times n}X=0$ 只有零解，则 $A_{3n\times n}X=b$ 必存在唯一解。（　　）
9. $A$ 为实矩阵，则 $\operatorname{rank}(A^TA)=\operatorname{rank}(A)$。（　　）
10. Cayley–Hamilton 定理说：若 $T(\lambda)=\lambda^n+c_{n-1}\lambda^{n-1}+\cdots+c_1\lambda+c_0$ 为 $A$ 的特征多项式，则 $T(A)=0$。（　　）

四、计算题（共 13 分）

1. 矩阵高次幂

设

$$A=\begin{pmatrix}1&-\sqrt3\\\sqrt3&1\end{pmatrix},$$

计算 $A^{2019}$。

2. 逆矩阵与代数余子式之和

设

$$A=\begin{pmatrix} 3&3&3&3\\ 0&1&1&1\\ 0&0&1&1\\ 0&0&0&1 \end{pmatrix},$$

求 $A^{-1}$，并求 $A$ 的全体代数余子式之和 $\sum_{i,j}A_{ij}$。

3. 特殊结构行列式

设四阶方阵 $A=(a_i-b_j)_{4\times4}$，求 $\det(A)$。

五、计算题（共 12 分）

1. 由作用求线性变换矩阵（3 分）

$\mathbb R^2$ 中线性变换 $\varphi:X\mapsto AX$ 满足

$$\varphi\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}2\\3\end{pmatrix}, \qquad \varphi\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}3\\5\end{pmatrix}.$$

求变换矩阵 $A$。

2. 极大无关组（4 分）

已知 $\mathbb R^4$ 中列向量 $\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4,\alpha_5$， $A=(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4,\alpha_5)$ 经过初等行变换得到

$$B=\begin{pmatrix} 1&0&1&0&1\\ 0&1&2&0&1\\ 0&0&0&1&3\\ 0&0&0&0&0 \end{pmatrix}.$$

求该向量组的一个极大无关组，并用它表示其余向量。

3. 子空间的和与交（5 分）

$\mathbb R^n$ 中子空间

$$V_1=\{X=(x_1,\ldots,x_n)^T\mid x_1+\cdots+x_n=0\},$$ $$V_2=\{X=(x_1,\ldots,x_n)^T\mid x_1=x_2=\cdots=x_n\}.$$

1. 分别求 $V_1,V_2$ 的维数，并求 $V_2$ 的一组基；
2. 求 $V_1\cap V_2$、$\dim(V_1+V_2)$ 以及 $V_1+V_2$。

六、计算题（共 13 分）

1. 用行和求 $A^{-1}X$（3 分）

设三阶可逆阵 $A$ 的各行元素之和均为 $a$，向量 $X=(1,1,1)^T$，求 $A^{-1}X$。

2. 正交变换化二次型（10 分）

已知关于 $x_1,x_2,x_3$ 的二次型

$$f=x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3.$$

1. 求二次型的矩阵 $A$ 与 $A$ 的特征值；
2. 求正交阵 $P$，使 $P^TAP=D$ 为对角阵，并用正交变换 $X=PY$ 把 $f$ 化成标准形；
3. $f=0$ 在 $\mathbb R^3$ 中的图形 $S$ 是什么？

七、证明题（共 12 分）

1. 正交矩阵的行列式（6 分）

1. 设 $A$ 为 $n$ 阶实正交阵，证明 $|A|^2=1$；并证明若 $|A|=-1$，则 $|A+I|=0$。
2. 设 $A$ 为 $n$ 阶实正交阵，$\alpha_1,\ldots,\alpha_n$ 为 $\mathbb R^n$ 中列向量。若 $(A+I)\alpha_1,\ldots,(A+I)\alpha_n$ 线性无关，证明 $|A|=1$。

2. 实对称矩阵（6 分）

1. 设 $A$ 为实对称阵，且全部特征值均为 $0$，证明 $A=0$。
2. 设 $A$ 为正定阵，$B$ 为实对称阵。如果 $AB+BA=0$，证明 $B=0$。