2020 年秋期中真题

#真题

题面转写自源目录中的《工科高代 2020 期中试卷》。源文件是扫描件，未附答案；我逐页校对后转写，不补造解答。

一、选择题（每小题 3 分，共 30 分）

  1. 设 AA 是 m×nm\times n 矩阵，则 m<nm<n 是齐次线性方程组 AX=0AX=0 有非零解的（　　）。

    A. 充分条件　B. 等价条件　C. 充要条件　D. 必要条件

  2. 矩阵 AA 经过初等行变换变成 BB，则方程组 AX=0AX=0 与 BX=0BX=0（　　）。

    A. 都有非零解　B. 必有相同解　C. 解集不相同　D. 解集不确定

  3. 若向量 b≠0\boldsymbol b\ne0，向量 a\boldsymbol a 在 b\boldsymbol b 上的投影（数）aba_b 为（　　）。

    A. a⋅b∣a∣\dfrac{\boldsymbol a\cdot\boldsymbol b}{|\boldsymbol a|}　B. a⋅b\boldsymbol a\cdot\boldsymbol b　C. a⋅b∣b∣\dfrac{\boldsymbol a\cdot\boldsymbol b}{|\boldsymbol b|}　D. ∣b∣cos⁡θ|\boldsymbol b|\cos\theta

  4. (a×b)⋅b+(a×b)⋅a=(\boldsymbol a\times\boldsymbol b)\cdot\boldsymbol b+(\boldsymbol a\times\boldsymbol b)\cdot\boldsymbol a=（　　）。

    A. ∣a∣+∣b∣|\boldsymbol a|+|\boldsymbol b|　B. ∣a∣∣b∣|\boldsymbol a||\boldsymbol b|　C. 2∣a∣∣b∣2|\boldsymbol a||\boldsymbol b|　D. 00

  5. 设 a⊥b\boldsymbol a\perp\boldsymbol b，∣a∣=4,∣b∣=2|\boldsymbol a|=4,|\boldsymbol b|=2，且 a+tb⊥a−tb\boldsymbol a+t\boldsymbol b\perp\boldsymbol a-t\boldsymbol b，则常数 t=t=（　　）。

    A. ±2\pm2　B. ±4\pm4　C. 11　D. 44

  6. 向量 b=(4,−3,4)\boldsymbol b=(4,-3,4) 在 a=(2,2,1)\boldsymbol a=(2,2,1) 上的投影（数）为（　　）。

    A. 44　B. 22　C. −2-2　D. −4-4

  7. 已知 a+b+c=0\boldsymbol a+\boldsymbol b+\boldsymbol c=0，∣a∣=3,∣b∣=2,∣c∣=1|\boldsymbol a|=3,|\boldsymbol b|=2,|\boldsymbol c|=1，则 a⋅b+b⋅c+c⋅a=\boldsymbol a\cdot\boldsymbol b+\boldsymbol b\cdot\boldsymbol c+\boldsymbol c\cdot\boldsymbol a=（　　）。

    A. 44　B. 77　C. −7-7　D. −4-4

  8. 两平面 x−y+2z−6=0x-y+2z-6=0 和 2x+y+z−5=02x+y+z-5=0 的夹角余弦为（　　）。

    A. 0.20.2　B. 0.40.4　C. −0.1-0.1　D. 0.50.5

  9. 点 A(3,2,3)A(3,2,3) 到平面 2(x+5)+3(y+5)+6(z−1)=02(x+5)+3(y+5)+6(z-1)=0 的距离 d=d=（　　）。

    A. 77　B. 66　C. 55　D. 33

  10. 设 a×b+b×c+c×a=0\boldsymbol a\times\boldsymbol b+\boldsymbol b\times\boldsymbol c+\boldsymbol c\times\boldsymbol a=0，则 (a×b)⋅c=(\boldsymbol a\times\boldsymbol b)\cdot\boldsymbol c=（　　）。

    A. 00　B. 11　C. 22　D. 33

二、填空题（每小题 4 分，共 20 分）

  1. 向量 a=(1,1,2),b=(1,−1,1),c=(6,4,11)\boldsymbol a=(1,1,2),\boldsymbol b=(1,-1,1),\boldsymbol c=(6,4,11) 的混合积 (a,b,c)=(\boldsymbol a,\boldsymbol b,\boldsymbol c)= ______。

  2. 设 a⊥b\boldsymbol a\perp\boldsymbol b，则

∣a−b∣2+2∣a×b∣−(∣a∣+∣b∣)2=‾.|\boldsymbol a-\boldsymbol b|^2 +2|\boldsymbol a\times\boldsymbol b| -(|\boldsymbol a|+|\boldsymbol b|)^2 =\underline{\qquad\qquad}.

  1. 将 xOyxOy 面上双曲线 x2−y2=1x^2-y^2=1 绕 xx 轴旋转的旋转面方程是 ______。

  2. 方程组

{2x1−x2−x3=0,x1+x2−2x3=0\begin{cases} 2x_1-x_2-x_3=0,\\ x_1+x_2-2x_3=0 \end{cases}

的通解为 ______。

  1. 设 A(a,0,0),B(0,b,0),C(0,0,c)A(a,0,0),B(0,b,0),C(0,0,c)，abc≠0abc\ne0，则三角形 △ABC\triangle ABC 的面积为 ______。

三、计算题（共 15 分）

  1. 设非零向量 a,b,c\boldsymbol a,\boldsymbol b,\boldsymbol c 互相垂直，且 d=xa+yb+zc\boldsymbol d=x\boldsymbol a+y\boldsymbol b+z\boldsymbol c，求系数 x,y,zx,y,z。

  2. 设 a,b,c\boldsymbol a,\boldsymbol b,\boldsymbol c 互相正交，且 ∣a∣=3,∣b∣=4,∣c∣=5|\boldsymbol a|=3,|\boldsymbol b|=4,|\boldsymbol c|=5，令 s=a+b+c\boldsymbol s=\boldsymbol a+\boldsymbol b+\boldsymbol c。

    1. 求模长 ∣s∣|\boldsymbol s|；
    2. 求 s\boldsymbol s 与 c\boldsymbol c 的夹角 θ\theta。

  3. 设 A(a,0,0),B(0,b,0),C(0,0,c)A(a,0,0),B(0,b,0),C(0,0,c)，abc≠0abc\ne0。

    1. 求平面 ABCABC 的方程；
    2. 求原点到平面 ABCABC 的距离。

四、计算题（共 12 分）

  1. 设 a=(1,1,2),b=(1,−1,1),c=(6,4,11)\boldsymbol a=(1,1,2),\boldsymbol b=(1,-1,1),\boldsymbol c=(6,4,11)，求 x,yx,y 使 c=xa+yb\boldsymbol c=x\boldsymbol a+y\boldsymbol b。

  2. 求直线

{x−y+z=0,x+2y−z−1=0\begin{cases} x-y+z=0,\\ x+2y-z-1=0 \end{cases}

在 xOyxOy 面上的投影直线。

五、计算题（8 分）

求两条异面直线

L1:x−51=y4=z+21,L2:x−22=y+31=z−32L_1:\frac{x-5}{1}=\frac{y}{4}=\frac{z+2}{1}, \qquad L_2:\frac{x-2}{2}=\frac{y+3}{1}=\frac{z-3}{2}

之间的距离 dd。

六、证明题（7 分）

设 M1M_1 是直线 LL 外一点，MM 是直线 LL 上任一点，且直线的方向向量为 s\boldsymbol s。证明：点 M1M_1 到直线 LL 的距离为

d=∣M1M→×s∣∣s∣.d=\frac{|\overrightarrow{M_1M}\times\boldsymbol s|}{|\boldsymbol s|}.

七、讨论题（8 分）

讨论 bb 取何值时方程组有解，并求通解：

{x1+x2+x3+bx4=1,x1+bx2+x3+x4=1,x1+x2+bx3+x4=2.\begin{cases} x_1+x_2+x_3+bx_4=1,\\ x_1+bx_2+x_3+x_4=1,\\ x_1+x_2+bx_3+x_4=2. \end{cases}

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