2020–2021 学年第一学期期末真题

这份试卷藏在源目录的 42 页期末卷合订扫描中，卷面日期为 2021 年 1 月 13 日。源材料未附答案，我只转写题目；第五大题第一问有一处坐标被水印完全遮住，已在原处如实标明，不据题意反推。

一、选择题（每题 2 分，共 24 分）

1. 行列式的列运算

若 $3$ 阶方阵 $A=(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)$ 的行列式 $|A|=1$，则

$$|\alpha_1,2\alpha_2,\alpha_3-3\alpha_1|=\text{（　　）}.$$

A. $2$　B. $6$　C. $3$　D. $-1$

2. 伴随矩阵的行列式

设 $A$ 是 $n$ 阶可逆方阵（$n>1$），$A^*$ 为其伴随矩阵，则（　　）。

A. $|A^*|=|A|$

B. $|A^*|=|A|^{n-1}$

C. $|A^*|=|A|^n$

D. $|A^*|=|A^{-1}|$

3. 方阵的可逆性

设 $A,B$ 为 $n$ 阶方阵，下面结论正确的是（　　）。

A. 若 $A,B$ 可逆，则 $A+B$ 也可逆

B. 若 $A,B$ 可逆，则 $AB$ 也可逆

C. 若 $A+B$ 可逆，则 $A-B$ 也可逆

D. 若 $A-B$ 可逆，则 $A+B$ 也可逆

4. 满行秩矩阵

若矩阵 $A_{m\times n}$ 的秩为 $R(A)=m<n$，$I_m$ 为 $m$ 阶单位矩阵，下列论述中正确的是（　　）。

A. $A$ 的任意 $m$ 个列向量线性无关

B. $A$ 的任意 $m$ 阶子式不等于 $0$

C. 若矩阵 $B$ 满足 $BA=0$，则 $B=0$

D. $A$ 经过行初等变换一定可以化为 $(I_m,0)$ 的形式

5. 实对称矩阵合同

设 $A,B$ 是 $n$ 阶实对称矩阵，则 $A,B$ 合同的充分必要条件是（　　）。

A. $A,B$ 的特征值相同

B. $A,B$ 具有相同的行列式

C. $A,B$ 的秩相同

D. $A,B$ 具有相同的正、负惯性指数

6. 正定矩阵

设 $A,B$ 为 $n$ 阶正定矩阵，则下列选项中错误的是（　　）。

A. $3A+2B$ 正定

B. $A+B$ 正定

C. $AB$ 可逆

D. $AB$ 正定

7. 二次型的非负性

设 $A$ 是 $n$ 阶实方阵，$x$ 是 $\mathbb R^n$ 中非零列向量，则 $x^TA^TAx$（　　）。

A. 大于零　B. 等于零　C. 大于等于零　D. 不确定

8. 非齐次方程组

设 $Ax=0$ 是非齐次线性方程组 $Ax=b$ 对应的齐次线性方程组，则下列结论正确的是（　　）。

A. 若 $Ax=0$ 只有零解，则 $Ax=b$ 有唯一解

B. 若 $Ax=0$ 有非零解，则 $Ax=b$ 有无穷多解

C. 若 $Ax=b$ 有非零解，则 $Ax=0$ 有无穷多解

D. 若 $Ax=b$ 有无穷多解，则 $Ax=0$ 有非零解

9. 三个方阵的乘积

设 $n$ 阶方阵 $A,B,C$ 满足 $ABC=I$，则下面等式正确的是（　　）。

A. $BCA=I$　B. $ACB=I$　C. $BAC=I$　D. $CBA=I$

10. 零乘积

设 $A,B$ 是 $n$ 阶非零方阵，若 $AB=0$，则（　　）。

A. $A$ 的列向量组线性无关

B. $A$ 的列向量组线性相关

C. $A$ 的秩是零

D. $B$ 的秩是零

11. 特征值与满秩

$3$ 阶矩阵 $A$ 的特征值是 $1,-2,4$，且 $I$ 为 $3$ 阶单位阵，则下列矩阵中满秩矩阵是（　　）。

A. $I-A$　B. $2I+A$　C. $2I-A$　D. $A-4I$

12. 二次型的秩

已知二次型

$$f=5x_1^2+5x_2^2+\ell x_3^2-2x_1x_2+6x_1x_3-6x_2x_3$$

的秩为 $2$，则 $\ell$ 的值为（　　）。

A. $1$　B. $2$　C. $3$　D. $4$

二、填空题（每题 2 分，共 16 分）

1. 非齐次方程的通解

设 $\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$ 是 $4$ 元非齐次线性方程组 $Ax=b$ 的三个解向量，且

$$R(A)=3,\qquad \alpha_1=(1,2,3,4)^T,\qquad \alpha_2+\alpha_3=(0,1,2,3)^T,$$

则线性方程组 $Ax=b$ 的通解为 ______。

2. 行向量的相关性

矩阵

$$A= \begin{pmatrix} a_{11}&a_{12}\\ a_{21}&a_{22}\\ a_{31}&a_{32} \end{pmatrix},$$

则 $A$ 的行向量组线性 ______（填“相关”或“无关”）。

3. 逆矩阵

已知 $A^2+A-I=0$，则 $A^{-1}=$ ______。

4. 特征值与行列式

若 $3$ 阶方阵 $A$ 的三个特征值为 $1,-1,2$，则

\left|\left(\frac14A^2\right)^{-1}\right|=\text{______}.

5. 基的过渡矩阵

$\mathbb R^3$ 中从基 $\varepsilon_1,2\varepsilon_2,3\varepsilon_3$ 到基 $\varepsilon_1,\varepsilon_3,\varepsilon_2$ 的过渡矩阵为 ______。

6. 相似矩阵

已知矩阵

$$A= \begin{pmatrix} 2&1&1\\ 1&2&1\\ 1&1&2 \end{pmatrix},\qquad B= \begin{pmatrix} 1&0&0\\ 0&a&0\\ 0&0&4 \end{pmatrix},$$

矩阵 $A$ 与矩阵 $B$ 相似，则 $a=$ ______。

7. 伴随矩阵与齐次方程

设 $A$ 为 $n$ 阶不可逆阵，且 $A$ 中第 $(i,j)$ 元素的代数余子式 $A_{ij}\ne0$，则齐次线性方程组 $Ax=0$ 的通解为 ______。

8. 线性变换的矩阵

已知 $\mathbb R^2$ 中线性变换 $\sigma$ 对基 $\varepsilon_1,\varepsilon_2$ 的作用为

$$\sigma(\varepsilon_1)=2\varepsilon_1+3\varepsilon_2,\qquad \sigma(\varepsilon_2)=\varepsilon_1-\varepsilon_2,$$

则 $\sigma$ 在基 $\varepsilon_1,\varepsilon_2$ 下的矩阵 $B=$ ______。

三、判断题（每题 1 分，共 10 分）

1. 设向量组 $\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_s$ 线性相关，则其中任意一个向量都可以由其他向量线性表出。（　　）
2. 若 $\sigma$ 是 $n$ 维线性空间 $V$ 的线性变换，则 $\sigma$ 确定一个 $n$ 阶方阵。（　　）
3. 若 $A$ 是正交矩阵，则 $A^{-1}$ 一定也是正交矩阵。（　　）
4. 若矩阵 $A$ 与矩阵 $B$ 等价，则矩阵 $A,B$ 的行向量组等价。（　　）
5. 任意矩阵都可以表示成一个对称矩阵与一个反对称矩阵的和。（　　）
6. 若矩阵 $A$ 与 $B$ 相似，则 $A,B$ 具有相同的特征向量。（　　）
7. 若矩阵 $A$ 与 $B$ 合同，$A$ 是实对称矩阵，则 $B$ 也是实对称矩阵。（　　）
8. 设 $M_n$ 是实数域上所有 $n$ 阶矩阵在矩阵加法和数乘运算下构成的线性空间，那么所有 $n$ 阶实上三角阵构成的集合是 $M_n$ 的子空间。（　　）
9. 从标准正交基到标准正交基的过渡矩阵是正定矩阵。（　　）
10. 若矩阵 $A$ 的特征值都大于零，则 $A$ 正定。（　　）

四、计算题（每题 4 分，共 12 分）

1. 矩阵高次幂

设

$$A= \begin{pmatrix} 1&1&1\\ 1&1&1\\ 1&1&1 \end{pmatrix},$$

求 $A^{2020}$。

2. 逆矩阵

设

$$A= \begin{pmatrix} 1&1&0&0\\ 3&4&0&0\\ 0&0&1&0\\ 0&0&0&1 \end{pmatrix},$$

求 $A$ 的逆。

3. 行列式

计算行列式

$$\begin{vmatrix} 1+a_1&a_2&a_3&a_4\\ a_1&1+a_2&a_3&a_4\\ a_1&a_2&1+a_3&a_4\\ a_1&a_2&a_3&1+a_4 \end{vmatrix}.$$

五、综合题（共 15 分）

1. 特征值与特征向量（5 分）

设 $3$ 阶实矩阵 $A$ 的各行元素之和均为 $3$，向量

$$\alpha_1=\text{[坐标被源扫描水印完全遮挡]},\qquad \alpha_2=(0,1,1)^T$$

是线性方程组 $Ax=0$ 的两个解，求 $A$ 的特征值和特征向量。

2. 子空间的和与交（10 分）

设

$$W_1=L(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3),\qquad W_2=L(\beta_1,\beta_2,\beta_3),$$

其中

$$\begin{aligned} \alpha_1&=(1,1,1,0)^T,& \alpha_2&=(1,2,3,4)^T,& \alpha_3&=(2,1,3,1)^T,\\ \beta_1&=(5,6,7,8)^T,& \beta_2&=(3,4,5,6)^T,& \beta_3&=(2,3,4,5)^T. \end{aligned}$$

求：

1. $W_1,W_2$ 的维数和 $W_1$ 的一组基；
2. $W_1+W_2$ 的维数与一组基；
3. $W_1\cap W_2$。

六、求解题（共 13 分）

1. 解空间的标准正交基（3 分）

求齐次线性方程组

$$x_1+x_2+x_3=0$$

的解空间的一组标准正交基。

2. 二次型（10 分）

已知二次型

$$f(x_1,x_2,x_3) =x_1^2-x_2^2+x_3^2-2x_1x_2-2x_1x_3-2x_2x_3.$$

1. 求二次型的矩阵 $A$ 和 $A$ 的特征值；
2. 用正交变换 $x=Qy$ 把二次型 $f$ 化为标准形。

七、证明题（每题 5 分，共 10 分）

1. 秩一矩阵

设 $A$ 为 $n$ 阶方阵且 $A$ 的秩为 $1$，$\lambda$ 为 $A$ 的迹，证明：

$$A^2=\lambda A.$$

2. 同时合同对角化

设 $A$ 为 $n$ 阶正定矩阵，$B$ 为 $n$ 阶实对称矩阵，证明：存在可逆矩阵 $U$ 将 $A,B$ 同时合同于对角矩阵。