2021–2022 学年第一学期期末真题

题面与参考答案来自源目录中同名试卷。题册封面印有“2022 年 1 月 6 日”，以下按原卷顺序转写；参考答案默认折叠。源答案并非官方勘误版，其中一道行列式题存在明显笔误，文中已据计算核对并标明。

一、选择题（每小题 2 分，共 24 分）

1. 行列式的列变换

若三阶方阵 $A=(\alpha_1\ \alpha_2\ \alpha_3)$ 满足 $|A|=1$，则

$$|\alpha_1+\alpha_2+\alpha_3\quad \alpha_1+2\alpha_2+4\alpha_3\quad \alpha_1+3\alpha_2+9\alpha_3|$$

等于（　　）。

A. $2$　B. $6$　C. $-6$　D. $-2$

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选 A。把三列关于 $(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)$ 的系数排成矩阵，答案就是

$$|A|\begin{vmatrix}1&1&1\\1&2&3\\1&4&9\end{vmatrix}=2.$$

2. 可逆矩阵不改变秩

设 $A_{3\times4}$ 的秩为 $1$，$P$ 是三阶可逆方阵，则 $PA$ 的秩为（　　）。

A. $1$　B. $2$　C. $3$　D. $4$

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选 A。

3. 矩阵乘积的秩

设 $A$ 为 $m\times n$ 矩阵，$B$ 为 $n\times m$ 矩阵，则（　　）。

A. 当 $m>n$ 时，必有 $|AB|\ne0$

B. 当 $m>n$ 时，必有 $|AB|=0$

C. 当 $n>m$ 时，必有 $|AB|\ne0$

D. 当 $n>m$ 时，必有 $|AB|=0$

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选 B。因为 $\operatorname{rank}(AB)\le n<m$，$m$ 阶方阵 $AB$ 不满秩。

4. 正交矩阵的列向量

设 $A$ 是正交矩阵，$\alpha_j$ 为 $A$ 的第 $j$ 列，则 $\alpha_j^T\alpha_j$ 等于（　　）。

A. $0$　B. $1$　C. $2$　D. $3$

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选 B。

5. 矩阵方程

设 $A,B$ 是三阶方阵，$X$ 满足

$$AXA-BXB=BXA-AXB+I,$$

其中 $I$ 是三阶单位阵，则 $X=$（　　）。

A. $(A^2-B^2)^{-1}$

B. $(A+B)^{-1}(A-B)^{-1}$

C. $(A-B)^{-1}(A+B)^{-1}$

D. 不能确定

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选 C。移项后得到 $(A-B)X(A+B)=I$。

6. 平移特征值

设三阶矩阵 $A$ 的特征值为 $-1,1,2$，则下列矩阵中满秩的是（　　）。

A. $A+I$　B. $A-I$　C. $A+2I$　D. $A-2I$

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选 C。

7. $A^TA$ 与零空间

设 $A$ 为 $n$ 阶实矩阵，则方程组（I）$Ax=0$ 与（II）$A^TAx=0$（　　）。

A. （II）的解都是（I）的解，但反之不成立

B. （I）的解都是（II）的解，但反之不成立

C. 两者的解互不包含

D. 两者有相同的解

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选 D。

8. 初等行、列变换

从三阶单位阵 $I$ 出发，把第二列加到第一列得到 $A$；再交换 $A$ 的第一、第二行得到 $B$。记

$$P_1=\begin{pmatrix}1&0&0\\1&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}, \qquad P_2=\begin{pmatrix}0&1&0\\1&0&0\\0&0&1\end{pmatrix},$$

则 $B=$（　　）。

A. $P_1P_2$　B. $P_1^{-1}P_2$　C. $P_2P_1^{-1}$　D. $P_2P_1$

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选 D。

9. 齐次方程只有零解

设 $A$ 为 $m\times n$ 矩阵，齐次方程组 $Ax=0$ 仅有零解的充要条件是 $A$ 的（　　）。

A. 列向量线性无关　B. 列向量线性相关　C. 行向量线性无关　D. 行向量线性相关

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选 A。

10. 对称矩阵与对角化

设 $A$ 为四阶对称矩阵，$A^2+A=0$，且 $\operatorname{rank}(A)=3$，则 $A$ 相似于（　　）。

A. $\operatorname{diag}(1,1,-1,0)$

B. $\operatorname{diag}(-1,-1,-1,0)$

C. $\operatorname{diag}(1,1,1,0)$

D. $\operatorname{diag}(1,-1,-1,0)$

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选 B。由 $\lambda^2+\lambda=0$，特征值只能是 $0,-1$；秩为 $3$，所以恰有三个 $-1$。

11. 新向量组的线性无关性

已知 $\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4$ 线性无关，则下列向量组线性无关的是（　　）。

A. $\alpha_1+\alpha_2,\alpha_2+\alpha_3,\alpha_3+\alpha_4,\alpha_4+\alpha_1$

B. $\alpha_1-\alpha_2,\alpha_2-\alpha_3,\alpha_3-\alpha_4,\alpha_4-\alpha_1$

C. $\alpha_1+\alpha_2,\alpha_2+\alpha_3,\alpha_3+\alpha_4,\alpha_4-\alpha_1$

D. $\alpha_1+\alpha_2,\alpha_2+\alpha_3,\alpha_3-\alpha_4,\alpha_4-\alpha_1$

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选 C。

12. 二次型的规范形

二次型

$$f=x_1^2+2x_2^2+4x_3^2+2x_1x_2+4x_2x_3$$

的规范形为（　　）。

A. $y_1^2-y_2^2$

B. $y_1^2+y_2^2+y_3^2$

C. $y_1^2+y_2^2-y_3^2$

D. $y_1^2+y_2^2$

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选 D。

二、填空题（每小题 2 分，共 16 分）

1. 四阶行列式

$$\begin{vmatrix} a&0&0&b\\ 0&a&b&0\\ 0&b&a&0\\ b&0&0&a \end{vmatrix}=\underline{\qquad}.$$

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$(a^2-b^2)^2$。

2. 行和为零的矩阵

设 $n$ 阶矩阵 $A$ 的各行元素之和均为零，且 $\operatorname{rank}(A)=n-1$，则 $Ax=0$ 的通解为 ______。

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$x=k(1,1,\ldots,1)^T$。行和为零说明这个向量是解；零空间维数为 $n-(n-1)=1$，所以它张成全部解。

3. 由矩阵多项式求逆

已知 $A^3-A^2+2A-I=0$，则 $A^{-1}=$ ______。

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$A^2-A+2I$。

4. 代数余子式

已知

$$D=\begin{vmatrix} a_1&a_2&a_3&a_4\\ a_2&a_2&a_4&a_5\\ a_3&a_2&a_5&a_6\\ a_4&a_2&a_6&a_7 \end{vmatrix},$$

则 $A_{13}+A_{23}+A_{33}+A_{43}=$ ______。

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$0$。把第三列换成全 $1$ 后按该列展开，所得行列式正是这四个代数余子式之和；新第三列与常数列 $(a_2,a_2,a_2,a_2)^T$ 成比例，行列式为零。

5. 过渡矩阵

在 $\mathbb R^3$ 中，从标准基 $\varepsilon_1,\varepsilon_2,\varepsilon_3$ 到基

$$\alpha_1=(3,0,-1)^T,\quad \alpha_2=(4,0,-1)^T,\quad \alpha_3=(0,4,1)^T$$

的过渡矩阵为 ______。

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$$\begin{pmatrix}3&4&0\\0&0&4\\-1&-1&1\end{pmatrix}.$$

6. 伴随矩阵的行列式

若三阶方阵 $A$ 的特征值为 $1,1,2$，则 $|4A^*|=$ ______。

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$256$。

7. Jordan 标准形

设三阶实矩阵 $A$ 的特征值为 $1,2,3$，则 $A$ 的 Jordan 标准形为 ______。

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$\operatorname{diag}(1,2,3)$。

8. 线性变换换基

已知 $\mathbb R^2$ 中的线性变换 $\sigma$ 满足

$$\sigma(\varepsilon_1)=\varepsilon_1+\varepsilon_2, \qquad \sigma(\varepsilon_2)=\varepsilon_1-\varepsilon_2,$$

则 $\sigma$ 在有序基 $(\varepsilon_2,\varepsilon_1)$ 下的矩阵 $B=$ ______。

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$$B=\begin{pmatrix}-1&1\\1&1\end{pmatrix}.$$

三、判断题（每小题 1 分，共 10 分）

1. 若 $\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_n$（$n\ge2$）线性无关，则其中任意两个向量线性无关。

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   正确。

2. 矩阵元素 $a_{ij}$ 的余子式和代数余子式相差一个符号。

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   错误。

3. 如果两个向量组的秩相等，那么这两个向量组等价。

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   错误。

4. 若 $AB=0$，则 $A=0$ 或 $B=0$。

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   错误。

5. 与任意 $n$ 阶方阵可交换的矩阵一定是 $n$ 阶单位阵。

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   错误。

6. 若存在矩阵 $P$ 使 $P^TAP=B$，则矩阵 $A$ 与 $B$ 合同。

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   错误；还需要 $P$ 可逆。

7. 若矩阵 $A$ 与 $B$ 相似，则 $A$ 与 $B$ 具有相同特征值。

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   正确。

8. 初等变换不改变矩阵的秩。

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   正确。

9. 线性空间两组基之间的过渡矩阵是可逆矩阵。

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   正确。

10. $n$ 阶实对称矩阵 $A$ 正定的充要条件是它的所有 $k$ 阶子式都大于零（$k=1,2,\ldots,n$）。

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    错误；Sylvester 判据说的是各阶顺序主子式。

四、计算题（每小题 4 分，共 12 分）

1. 矩阵的高次幂

设

$$A=\begin{pmatrix}1&1&1\\2&2&2\\3&3&3\end{pmatrix},$$

求 $A^{2021}$。

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写成秩一分解

$$A=\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}(1\ 1\ 1).$$

每多乘一个 $A$，中间就产生标量 $(1\ 1\ 1)(1,2,3)^T=6$，所以

$$A^{2021}=6^{2020}A.$$

2. 分块矩阵求逆

设

$$A=\begin{pmatrix} 0&0&5&2\\ 0&0&2&1\\ 1&-2&0&0\\ 1&1&0&0 \end{pmatrix},$$

求 $A^{-1}$。

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把 $A$ 写成 $\begin{pmatrix}0&B\\C&0\end{pmatrix}$，则

$$A^{-1}=\begin{pmatrix}0&C^{-1}\\B^{-1}&0\end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 0&0&\frac13&\frac23\\ 0&0&-\frac13&\frac13\\ 1&-2&0&0\\ -2&5&0&0 \end{pmatrix}.$$

3. 秩一扰动的行列式

设

$$A=\operatorname{diag}(a_1,a_2,a_3)$$

可逆，$\beta=(a_1,a_2,a_3)$，求 $|A-\beta^T\beta|$。

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矩阵行列式引理给出

$$|A-\beta^T\beta| =|A|\bigl(1-\beta A^{-1}\beta^T\bigr) =a_1a_2a_3\bigl[1-(a_1+a_2+a_3)\bigr].$$

源答案把前面的 $a_1a_2a_3$ 误写成了它的倒数；这与其上一行 $|A^{-1}(A-\beta^T\beta)|=1-(a_1+a_2+a_3)$ 也不相容，故此处按直接计算更正。

五、综合题（共 15 分）

1. 二重特征值与可对角化（5 分）

设

$$A=\begin{pmatrix}1&-1&1\\2&4&y\\-3&-3&5\end{pmatrix},$$

且 $A$ 可对角化，$\lambda=2$ 是 $A$ 的二重特征值，求 $y$。

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可对角化要求 $\lambda=2$ 的几何重数也是 $2$，故 $\operatorname{rank}(2I-A)=1$。化简得

$$2I-A\sim \begin{pmatrix}1&1&-1\\0&0&-y-2\\0&0&0\end{pmatrix},$$

所以 $y=-2$。

2. 子空间的和与交（10 分）

设 $W_1=L(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)$，$W_2=L(\beta_1,\beta_2)$，其中

$$\begin{aligned} \alpha_1&=(1,1,0,0)^T,& \alpha_2&=(-1,0,1,0)^T,& \alpha_3&=(1,0,0,1)^T,\\ \beta_1&=(1,0,2,3)^T,& \beta_2&=(1,-1,0,1)^T. \end{aligned}$$

求：

1. $W_1,W_2$ 的维数和 $W_1$ 的一组基；
2. $W_1+W_2$ 的维数与一组基；
3. $W_1\cap W_2$ 的一组基。

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五个生成向量组成的矩阵秩为 $4$，且 $\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$ 与 $\beta_1,\beta_2$ 各自线性无关。因此

$$\dim W_1=3,\qquad \dim W_2=2,$$

$W_1$ 可取基 $\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$。又

$$\dim(W_1+W_2)=4,$$

可取基 $\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\beta_2$。维数公式给出

$$\dim(W_1\cap W_2)=3+2-4=1,$$

而 $\beta_1=2\alpha_2+3\alpha_3$，故交空间可取基 $\beta_1$。

六、求解题（共 13 分）

1. 齐次方程组的通解（3 分）

设 $A=(\alpha_1\ \alpha_2\ \alpha_3)$ 为三阶矩阵，$\alpha_1,\alpha_2$ 线性无关，且 $\alpha_3=-\alpha_1+2\alpha_2$，求 $Ax=0$ 的通解。

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由 $\alpha_1-2\alpha_2+\alpha_3=0$，通解为

$$x=t(1,-2,1)^T,\qquad t\in\mathbb R.$$

源答案写成其相反向量 $t(-1,2,-1)^T$，表示的是同一个一维解空间。

2. 正交变换化二次型（10 分）

已知

$$f=4x_1^2+4x_2^2+4x_3^2+2x_1x_2+2x_1x_3+2x_2x_3.$$

1. 求二次型的矩阵 $A$ 和 $A$ 的特征值；
2. 用正交变换 $x=Qy$ 把 $f$ 化为标准形。

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$$A=\begin{pmatrix}4&1&1\\1&4&1\\1&1&4\end{pmatrix},$$

特征值为 $6,3,3$。可取两两正交的单位特征向量

$$\eta_1=\frac1{\sqrt3}(1,1,1)^T, \quad \eta_2=\frac1{\sqrt2}(-1,1,0)^T, \quad \eta_3=\frac1{\sqrt6}(-1,-1,2)^T.$$

令 $Q=(\eta_1\ \eta_2\ \eta_3)$，则

$$Q^TAQ=\operatorname{diag}(6,3,3), \qquad f=6y_1^2+3y_2^2+3y_3^2.$$

七、证明题（10 分）

设 $A,B$ 均为 $n$ 阶正定矩阵，证明：

1. 存在 $n$ 阶正定矩阵 $S$，使 $A=S^2$；
2. $AB$ 的特征值都大于零；
3. 若 $AB=BA$，则 $AB$ 也是正定矩阵。

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因为 $A$ 正定，所以存在正交矩阵 $Q$，使

$$A=Q\operatorname{diag}(\lambda_1,\ldots,\lambda_n)Q^T, \qquad \lambda_i>0.$$

令

$$S=Q\operatorname{diag}(\sqrt{\lambda_1},\ldots,\sqrt{\lambda_n})Q^T,$$

则 $S$ 正定且 $S^2=A$。

再令 $C=SBS$。它是实对称矩阵，并且对任意 $x\ne0$，

$$x^TCx=(Sx)^TB(Sx)>0,$$

故 $C$ 正定，特征值全为正。另一方面

$$S^{-1}(AB)S=S^{-1}S^2BS=SBS=C,$$

所以 $AB$ 与 $C$ 相似，$AB$ 的特征值也全为正。

若再有 $AB=BA$，则

$$(AB)^T=B^TA^T=BA=AB,$$

即 $AB$ 是实对称矩阵。实对称矩阵的特征值全为正等价于正定，因此 $AB$ 正定。