2022–2023 学年第一学期期末真题

题面来自《2022 卷面》，日期为 2022 年 12 月 27 日；参考答案来自同目录中的《22 期末答案》。我按原卷顺序转写，参考答案默认折叠。

一、选择题（每小题 3 分，共 30 分）

1. 正定矩阵

实对称阵 $A$ 为正定矩阵的等价条件是（　　）。

A. 特征值全为正数　B. $|A|>0$　C. $\operatorname{tr}(A)>0$　D. 对角元全为正

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选 A。

2. 齐次方程组

设 $A$ 是 $m\times n$ 矩阵，则 $m<n$ 是齐次线性方程组 $AX=0$ 有非零解的（　　）。

A. 充分条件　B. 等价条件　C. 充要条件　D. 不必要条件

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选 A。

3. $A^TA$ 与零空间

$A$ 为 $m\times n$ 实矩阵，对于方程组（I）$AX=0$ 与（II）$A^TAX=0$，必有（　　）。

A. （II）的解不是（I）的解　B. （I）与（II）有相同解　C. 存在非零解　D. 解不同

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选 B。

4. 行变换与解集

矩阵 $A$ 经过初等行变换变成 $B$，则方程组 $AX=0$ 与 $BX=0$（　　）。

A. 必有非零解　B. 必有相同解　C. 解集不同　D. 解不确定

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选 B。

5. 向量组的秩

若 $\mathbb R^3$ 的基 $\varepsilon_1,\varepsilon_2,\varepsilon_3$ 可由向量组 $\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$ 线性表出，则 $\operatorname{rank}\{\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\}$（　　）。

A. 小于 $3$　B. 小于 $2$　C. 等于 $3$　D. 最少等于 $1$

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选 C。

6. 特征值与满秩

设 $3$ 阶方阵 $A$ 有特征值 $1,-2,4$，$I$ 是单位阵，则下列矩阵中的满秩阵是（　　）。

A. $A-I$　B. $A+2I$　C. $A-2I$　D. $A-4I$

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选 C。

7. 行列式的列运算

若 $3$ 阶方阵 $A=(\alpha_1\ \alpha_2\ \alpha_3)$ 满足 $|A|=1$，则

$$|\alpha_1-2\alpha_2\quad \alpha_2\quad 2\alpha_3| =\text{（　　）}$$

A. $4$　B. $3$　C. $-4$　D. $2$

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选 D。

8. 新向量组的无关性

设向量 $\alpha,\beta$ 线性无关，且 $\alpha+t\beta,s\alpha+\beta$ 线性无关，则 $t,s$ 满足（　　）。

A. $ts\ne0$　B. $ts=1$　C. $ts=2$　D. $1-ts\ne0$

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选 D。

9. 非齐次方程组的通解

设 $\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$ 是四元方程组 $AX=b$ 的三个解向量，$\operatorname{rank}(A)=3$，且

$$\alpha_1=(1,2,3,4)^T, \qquad \alpha_2+\alpha_3=(0,1,2,3)^T.$$

$k$ 为任意常数，则 $AX=b$ 的通解是（　　）。

A. $(1,2,3,4)^T+k(1,1,1,1)^T$

B. $k(0,1,2,3)^T$

C. $k(3,4,5,6)^T$

D. $(1,2,3,4)^T+k(2,3,4,5)^T$

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选 D。

10. 实对称阵的 Jordan 形

实对称阵 $A$ 必相似于对角形，它的 Jordan 标准形是（　　）。

A. 阶梯形　B. 对角形　C. 单位阵 $I$　D. 三角形

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选 B。

二、判断正误（13 分）

1. 设 $A$ 是 $m\times n$ 实矩阵，则 $\operatorname{rank}(A^TA)=\operatorname{rank}(A)=\operatorname{rank}(AA^T)$。

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   正确。

2. 设 $A$ 为 $m\times n$ 矩阵，$B$ 为 $n\times m$ 矩阵，当 $m>n$ 时必有 $|AB|=0$。

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   正确。

3. 设 $3$ 阶阵 $A$ 的各行元素和为 $0$，且秩为 $2$，则 $A\boldsymbol x=0$ 有基础解 $(1,1,1)^T$。

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   正确。

4. 设 $A$ 是 $n$ 阶实正交阵，$\boldsymbol x$ 是 $\mathbb R^n$ 中列向量，则 $|A\boldsymbol x|=|\boldsymbol x|$。

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   正确。

5. 设 $P^{-1}AP$ 有定义，$f(x)$ 是 $k$ 次多项式，则 $(P^{-1}AP)^k=P^{-1}A^kP$，且 $f(P^{-1}AP)=P^{-1}f(A)P$。

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   正确。

6. 若 $A$ 与 $B$ 合同，$A$ 是正定阵，则 $B$ 也是正定阵。

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   正确。

7. 若 $n$ 阶方阵 $A$ 有 $n$ 个线性无关的特征向量，则 $A$ 相似于对角阵。

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   正确。

8. 若 $n$ 阶矩阵 $A$ 相似于对角阵 $D$，则 $A$ 的 Jordan 形就是对角阵 $D$。

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   正确。

9. 设 $T(\lambda)$ 是 $n$ 阶方阵 $A$ 的特征多项式，则 $T(A)=0$。

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   正确。

10. 若 $n$ 阶方阵 $A$ 使 $A\boldsymbol x=0$ 只有零解，则 $A\boldsymbol x=\boldsymbol b$ 必有唯一解。

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    正确。

11. 若 $n$ 元齐次方程组 $A_{m\times n}\boldsymbol x=0$ 只有零解，则 $A_{m\times n}\boldsymbol x=\boldsymbol b$ 必有唯一解。

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    错误。

12. 若两个 $n$ 阶方阵 $A,B$ 满足 $AB=0$，则 $\operatorname{rank}(A)+\operatorname{rank}(B)=n$。

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    错误。

13. 若 $A,B$ 均为 $n$ 阶对称阵，则 $AB$ 也是对称阵。

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    错误。

三、填空题（20 分）

1. 设 $2$ 阶矩阵 $A$ 与 $B$ 相似，且 $A$ 的特征值为 $2,3$，则 $B^{-1}$ 的特征值为 ______。

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   $\dfrac12,\dfrac13$。

2. 若 $3$ 阶方阵 $A$ 有特征值 $0,1,1$，则 $|A+I|=$ ______。

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   $4$。

3. $A=\begin{pmatrix}2&1\\0&3\end{pmatrix}$ 的两个线性无关特征向量是 ______。

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   可取 $(1,0)^T,(1,1)^T$。

4. $n$ 阶方阵 $A$ 的行列式 $|A|=0$ 当且仅当齐次方程组 $A\boldsymbol x=0$ ______。

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   有非零解（因而有无穷多解）。

5. 设 $A$ 为 $m\times n$ 矩阵，且齐次方程组 $AX=0$ 只有零解，则 $\operatorname{rank}(A)=$ ______。

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   $n$。

6. $n$ 阶方阵 $A$ 的秩 $\operatorname{rank}(A)=n$ 的充要条件是行列式 $|A|$ ______。

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   非零。

7. 设 $A$ 是实正交阵，$\alpha_j$ 为 $A$ 的第 $j$ 列，则 $\alpha_j^T\alpha_j=$ ______。

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   $1$。

8. $A$ 为 $m\times n$ 矩阵，$\operatorname{rank}(A)=r$，则空间 $W=\{X\mid AX=0\}$ 的维数 $\dim W=$ ______。

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   $n-r$。

9. $\mathbb R^2$ 中线性变换 $\sigma$ 满足 $\sigma(\varepsilon_1)=\varepsilon_1+\varepsilon_2$，$\sigma(\varepsilon_2)=\varepsilon_1-\varepsilon_2$，则 $\sigma$ 在基 $\varepsilon_1,\varepsilon_2$ 下的矩阵是 ______。

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   $\begin{pmatrix}1&1\\1&-1\end{pmatrix}$。

10. $\mathbb R^2$ 中从基 $\{(1,0)^T,(0,1)^T\}$ 到基 $\{(1,2)^T,(3,4)^T\}$ 的过渡矩阵 $P=$ ______。

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    $\begin{pmatrix}1&3\\2&4\end{pmatrix}$。

四、计算题（每小题 3 分，共 9 分）

1. 矩阵高次幂

$$A=\begin{pmatrix}1&1&1\\2&2&2\\1&1&1\end{pmatrix},$$

求 $A^n$。

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$$A^n=4^{n-1}A.$$

2. 对称行列式

$$A=\begin{pmatrix}a&b&b\\b&a&b\\b&b&a\end{pmatrix},$$

求 $|A|$。

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$$|A|=(a-b)^2(a+2b).$$

3. 相似不变量

设

$$A=\begin{pmatrix}0&1\\1&x\end{pmatrix}, \qquad B=\begin{pmatrix}y&0\\0&-1\end{pmatrix}$$

相似，求 $x,y$。

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相似阵行列式相同，$-1=-y$，所以 $y=1$。迹也相同，$x=y-1=0$。

五、逆矩阵（8 分）

1. 数值矩阵求逆

$$A=\begin{pmatrix} 1&0&0&0\\ 1&1&0&0\\ 1&1&1&0\\ 1&1&1&1 \end{pmatrix},$$

求 $A^{-1}$。

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$$A^{-1}= \begin{pmatrix} 1&0&0&0\\ -1&1&0&0\\ 0&-1&1&0\\ 0&0&-1&1 \end{pmatrix}.$$

2. 分块矩阵求逆

$$A=\begin{pmatrix}B&0\\C&D\end{pmatrix},$$

其中 $B,D$ 均可逆，求 $A^{-1}$。

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$$A^{-1}= \begin{pmatrix} B^{-1}&0\\ -D^{-1}CB^{-1}&D^{-1} \end{pmatrix}.$$

六、正交对角化与二次型（8 分）

1. 实对称阵正交对角化

设

$$A=\begin{pmatrix}3&1&1\\1&3&1\\1&1&3\end{pmatrix},$$

求正交阵 $Q$，使 $Q^{-1}AQ$ 为对角阵，并写出该对角阵。

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$A$ 的特征值为 $5,2,2$。可取对应的一组标准正交特征向量

$$\frac1{\sqrt3}(1,1,1)^T, \quad \frac1{\sqrt2}(1,-1,0)^T, \quad \frac1{\sqrt6}(-1,-1,2)^T.$$

将它们按列排成 $Q$，则

$$Q^TAQ=\operatorname{diag}(5,2,2).$$

$2$ 重特征子空间内的标准正交基不唯一，所以 $Q$ 不唯一。

2. 二次型化标准形

用正交变换 $X=QY$ 把

$$f=3(x_1^2+x_2^2+x_3^2) +2(x_1x_2+x_2x_3+x_1x_3)$$

化为标准形。

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与上一小题使用同一个正交矩阵，得

$$f=5y_1^2+2y_2^2+2y_3^2.$$

因特征向量的排列次序可变，系数也可按对应顺序写成 $2,2,5$。

七、证明题（12 分）

1. $AB$ 与 $BA$ 相似

设 $A,B$ 都是 $n$ 阶方阵，且 $|A|\ne0$，证明 $AB$ 与 $BA$ 相似。

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$|A|\ne0$，所以 $A^{-1}$ 存在，且

$$BA=A^{-1}(AB)A.$$

因此 $AB$ 与 $BA$ 相似。

2. 与一组基都正交的向量

设 $\alpha_1,\ldots,\alpha_n$ 是欧氏空间 $\mathbb R^n$ 的基，$\alpha\in\mathbb R^n$。证明：若 $(\alpha,\alpha_i)=0$ 对所有 $1\le i\le n$ 成立，则 $(\alpha,\alpha)=0$，且 $|\alpha|=0$。

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因 $\alpha_1,\ldots,\alpha_n$ 是基，可写

$$\alpha=k_1\alpha_1+\cdots+k_n\alpha_n.$$

于是

$$(\alpha,\alpha) =k_1(\alpha,\alpha_1)+\cdots+k_n(\alpha,\alpha_n)=0.$$

由 $|\alpha|^2=(\alpha,\alpha)=0$，得 $|\alpha|=0$。

3. 充分大的参数与正定性

1. 设 $A$ 是实对称矩阵，证明：当实数 $t$ 充分大后，$tI+A$ 是正定矩阵。
2. 设 $A,B$ 为同阶实对称阵，$B$ 是正定阵，证明：当 $t$ 充分大时，$tB+A$ 是正定阵。

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1. $tI+A$ 的特征值是 $t+\lambda_1,\ldots,t+\lambda_n$。$t$ 充分大时它们全为正，所以 $tI+A$ 正定。
2. $B$ 正定，存在可逆矩阵 $P$ 使 $P^TBP=I$。于是

$$P^T(tB+A)P=tI+P^TAP.$$

$P^TAP$ 仍是实对称阵，由第 1 问知，$t$ 充分大时右边正定。合同保持正定性，因此 $tB+A$ 正定。