2007 年线性代数真题（整理稿）

这不是官方卷面扫描，而是源目录中署有“380104 整理”的试题与参考答案文档。我保留这一证据边界：题目按整理稿转写，答案默认折叠；其中三处参考答案可由题面直接判定为错误，已在对应折叠块里给出勘误。

一、单项选择题

1. 数量矩阵

设 $A$ 为 $n$ 阶方阵，$B$ 为 $n$ 阶数量矩阵，则下列各式不成立的是（　　）。

A. $AB\ne BA$

B. $AB=BA$

C. $(AB)^k=A^kB^k$，$k$ 为正整数

D. $(A+B)(A-B)=(A-B)(A+B)$

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选 A。

2. 矩阵幂的行列式

设 $A$ 为二阶方阵，且 $|A|=2$，则 $|(-2A)^3|=$（　　）。

A. $-512$　B. $512$　C. $-64$　D. $64$

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选 B。

3. 初等矩阵

设

$$A= \begin{pmatrix} a_1&a_2&a_3\\ b_1&b_2&b_3\\ c_1&c_2&c_3 \end{pmatrix},\qquad B= \begin{pmatrix} a_3&a_2&a_1\\ 3b_3&3b_2&3b_1\\ c_3&c_2&c_1 \end{pmatrix},$$

以及

$$P= \begin{pmatrix} 0&0&1\\ 0&1&0\\ 1&0&0 \end{pmatrix},\qquad Q= \begin{pmatrix} 1&0&0\\ 0&3&0\\ 0&0&1 \end{pmatrix}.$$

其中 $a_i\ne0,b_i\ne0$（$i=1,2,3$），则 $B=$（　　）。

A. $AP$　B. $QA$　C. $PAQ$　D. $QAP$

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选 D。

4. 线性无关

下列向量组中线性无关的是（　　）。

A. $(1,2,3),(4,5,6),(0,0,0)$

B. $(1,2),(3,4),(5,6)$

C. $(1,2,1,0,0),(3,4,0,1,0),(5,6,0,0,1)$

D. $(a,b,c),(a+b,b+c,c+a),(2a,2b,2c)$，其中 $a,b,c$ 为任意实数

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选 C。

5. 不同特征值的特征向量

设 $\lambda_1,\lambda_2$ 为 $n$ 阶方阵 $A$ 的两个互异特征值（$n>2$），对应特征向量为 $X_1,X_2$，则下列结论正确的是（　　）。

A. $2X_1+3X_2$ 不是 $A$ 的特征向量

B. $2X_1+3X_2$ 是 $A$ 的特征向量

C. $2X_1,3X_2$ 线性相关

D. $A$ 与对角阵相似

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选 A。

6. 基础解系的向量个数

设 $A$ 为 $n$ 阶降秩矩阵，且 $|A|$ 中有一元素 $a_{ij}$ 的代数余子式 $A_{ij}\ne0$，则齐次线性方程组 $AX=0$ 的基础解系所含解向量个数是（　　）。

A. $i$ 个　B. $j$ 个　C. $n$ 个　D. $1$ 个

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选 D。

7. 半正定二次型

设 $A$ 为 $m\times n$ 阶实矩阵，且 $R(A)<n$，则二次型 $X^T(A^TA)X$ 是（　　）。

A. 正定二次型　B. 负定二次型　C. 半正定二次型　D. 半负定二次型

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选 C。

8. 相似矩阵的函数

$A,B$ 均为三阶方阵，且 $A\sim B$。$A$ 的特征值为 $2,3,4$，则 $(3B)^{-1}+E$ 的特征值是（　　）。

A. $7,10,13$

B. $\dfrac76,\dfrac{10}9,\dfrac{13}{12}$

C. $\dfrac52,2,\dfrac74$

D. $\dfrac53,2,\dfrac73$

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选 B。

二、填空题

1. Vandermonde 型行列式

\begin{vmatrix} a_1&a_1^2&a_1^3&a_1^4\\ a_2&a_2^2&a_2^3&a_2^4\\ a_3&a_3^2&a_3^3&a_3^4\\ a_4&a_4^2&a_4^3&a_4^4 \end{vmatrix}=\text{______}.

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$a_1a_2a_3a_4\displaystyle\prod_{1\le j

2. 矩阵多项式

设 $A$ 为 $n$ 阶方阵，且满足 $A^2+3A-5E=0$，则 $(A+E)^{-1}=$ ______。

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整理稿写成 $\dfrac13(A+2E)$。但

$$(A+E)(A+2E)=A^2+3A+2E=7E,$$

所以正确结果是 $\dfrac17(A+2E)$。

3. 相似变换与矩阵幂

已知

$$P^{-1}AP= \begin{pmatrix} 4&0\\ 0&2 \end{pmatrix},\qquad P= \begin{pmatrix} 1&2\\ 1&3 \end{pmatrix},$$

则 $(A-3E)^7=$ ______。

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整理稿直接写成 $\operatorname{diag}(1,-1)$，漏掉了换回原基。应为

$$P \begin{pmatrix} 1&0\\ 0&-1 \end{pmatrix} P^{-1} = \begin{pmatrix} 5&-4\\ 6&-5 \end{pmatrix}.$$

4. 矩阵乘积的秩

设 $A$ 为三阶方阵，$R(A)=2$，且

$$B= \begin{pmatrix} 1&0&1\\ 0&1&2\\ 1&0&3 \end{pmatrix},$$

则 $R(AB)=$ ______。

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$2$。

5. 向量组相关性

设

$$\begin{aligned} \alpha_1&=(1,0,-2,1),& \alpha_2&=(-1,2,0,1),\\ \alpha_3&=(2,0,-1,4),& \alpha_4&=(1,-2,3,1), \end{aligned}$$

则向量组 $\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4$ 线性 ______。

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线性相关。

6. 正定二次型

当

$$f(x_1,x_2,x_3)=2x_1^2+x_2^2+x_3^2-2t x_1x_2+2x_1x_3$$

正定时，$t$ 应满足 ______。

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$-1

7. 实对称矩阵的特征向量

设 $A$ 是三阶实对称矩阵，特征值为 $1,1,3$。与 $1$ 对应的两个特征向量为

$$\alpha_1=(1,2,3)^T,\qquad \alpha_2=(1,5,6)^T,$$

则与 $3$ 对应的特征向量 $\alpha_3=$ ______。

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整理稿写成 $(1,-1,1)^T$，但它与 $\alpha_1,\alpha_2$ 都不正交。实对称矩阵不同特征值的特征向量正交，可取

$$\alpha_3=(1,1,-1)^T.$$

8. 基下坐标

$\alpha_1=(1,1,0)^T,\alpha_2=(1,0,1)^T,\alpha_3=(0,1,1)^T$ 为 $\mathbb R^3$ 的一组基，$\beta=(2,0,0)^T$ 在该基下的坐标为 ______。

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$(1,1,-1)^T$。

三、矩阵方程

已知 $AX=B+X$，其中

$$A= \begin{pmatrix} 2&1&-1\\ -1&4&-1\\ 1&-1&2 \end{pmatrix},\qquad B= \begin{pmatrix} 1&0\\ 0&2\\ 1&3 \end{pmatrix},$$

求矩阵 $X$。

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$$X= \begin{pmatrix} 1&\frac32\\ \frac12&\frac52\\ \frac12&4 \end{pmatrix}.$$

四、含参数线性方程组

设方程组

$$\begin{cases} x_1+x_2+x_3-x_4=2,\\ 3x_1+4x_2+x_3-8x_4=9,\\ 5x_1+7x_2+a x_3-13x_4=b+14,\\ 10x_1+13x_2+4x_3-(a-28)x_4=29. \end{cases}$$

1. 问 $a,b$ 取何值时，方程组有唯一解、无解或无穷多解；
2. 当方程组有无穷多解时，求其通解。

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• $a\ne1$ 时有唯一解；
• $a=1,b\ne2$ 时无解；
• $a=1,b=2$ 时有无穷多解，通解为

$$X= \begin{pmatrix}-1\\3\\0\\0\end{pmatrix} +k_1\begin{pmatrix}-3\\2\\1\\0\end{pmatrix} +k_2\begin{pmatrix}4\\-1\\0\\1\end{pmatrix}, \qquad k_1,k_2\in\mathbb R.$$

五、二次型

设

$$f(x_1,x_2,x_3)=7x_1^2+7x_2^2+6x_3^2-2x_1x_2.$$

1. 写出此二次型对应的矩阵 $A$；
2. 求矩阵 $A$ 的特征值及特征向量；
3. 用正交变换化二次型为标准型，并写出所用的正交变换矩阵。

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$$A= \begin{pmatrix} 7&-1&0\\ -1&7&0\\ 0&0&6 \end{pmatrix}.$$

特征值为 $6,8$。$\lambda=6$ 的特征子空间可由 $(1,1,0)^T,(0,0,1)^T$ 张成，$\lambda=8$ 的特征向量可取 $(1,-1,0)^T$。

一种正交矩阵为

$$Q= \begin{pmatrix} \frac1{\sqrt2}&0&\frac1{\sqrt2}\\ \frac1{\sqrt2}&0&-\frac1{\sqrt2}\\ 0&1&0 \end{pmatrix},$$

于是标准形为 $6y_1^2+6y_2^2+8y_3^2$。

六、证明题

1. 幂向量组

设 $A$ 为 $n$ 阶非零矩阵，$\alpha$ 为 $n$ 维非零列向量，$S$ 为正整数且 $S>3$。若

$$A^{S-1}\alpha\ne0,\qquad A^S\alpha=0,$$

证明 $\alpha,A\alpha,A^2\alpha,\ldots,A^{S-1}\alpha$ 线性无关。

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设

$$k_1\alpha+k_2A\alpha+\cdots+k_SA^{S-1}\alpha=0.$$

两边左乘 $A^{S-1}$，利用 $A^S\alpha=0$，得 $k_1A^{S-1}\alpha=0$，故 $k_1=0$。再依次左乘 $A^{S-2},A^{S-3},\ldots,A$，可逐个得到 $k_2=k_3=\cdots=k_S=0$，因此该向量组线性无关。

2. $A^TA$ 的正定性

设 $A$ 为 $n$ 阶可逆实矩阵，证明 $A^TA$ 为正定矩阵。

查看参考证明

$A^TA$ 是实对称矩阵。对任意非零向量 $x$，由于 $A$ 可逆，所以 $Ax\ne0$，并且

$$x^TA^TAx=(Ax)^T(Ax)=\lVert Ax\rVert^2>0.$$

故 $A^TA$ 正定。