第 11 周主观作业提交 · 微分与 Taylor 公式

#作业

源目录中的《第十一周题.pdf》只有两页手写作答，没有单独附题。下面根据手写稿中的章节号、题号和公式，与教材习题 5.1、5.2 逐项对应后还原题面；折叠内容只转录这份提交本身，不把它改写成标准答案。个别模糊或明显算错的地方也照实说明。

习题 5.1

习题 5.1 · 第 1 题（第 1、3、5、7、9、11 小题）

分别求一个函数，使其微分为：

  1. dxx\dfrac{dx}{x}；
  2. dxx\dfrac{dx}{\sqrt x}；
  3. (cos⁡x+sin⁡x) dx(\cos x+\sin x)\,dx；
  4. e−ax dxe^{-ax}\,dx；
  5. dxxln⁡x\dfrac{dx}{x\ln x}；
  6. cos⁡2xsin⁡x dx\cos^2x\sin x\,dx。
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稿中依次填写为

ln⁡x,2x,sin⁡x−cos⁡x,−e−axa,ln⁡ln⁡x.\ln x,\qquad 2\sqrt x,\qquad \sin x-\cos x,\qquad -\frac{e^{-ax}}a,\qquad \ln\ln x.

第 11 小题旁写的是“不会”。

习题 5.1 · 第 2 题（第 1、3、5、7、9、11 小题）

求下列函数的一阶和二阶微分：

  1. y=x4+5xy=x^4+5x；
  2. y=xln⁡xy=x\ln x；
  3. y=u+1u−1y=\dfrac{u+1}{u-1}；
  4. y=x+ln⁡xy=\sqrt{x+\ln x}；
  5. y=x2e3xy=x^2e^{3x}；
  6. y=sin⁡x2y=\sin x^2。
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手写稿给出的可辨认部分为：

  1. dy=(4x3+5) dxdy=(4x^3+5)\,dx，d2y=12x2(dx)2d^2y=12x^2(dx)^2；
  2. dy=(ln⁡x+1) dxdy=(\ln x+1)\,dx，d2y=1x(dx)2d^2y=\dfrac1x(dx)^2；
  3. dy=−2(u−1)2 dudy=-\dfrac2{(u-1)^2}\,du，d2y=4(u−1)3(du)2d^2y=\dfrac4{(u-1)^3}(du)^2；
  4. dy=x+12xx+ln⁡x dxdy=\dfrac{x+1}{2x\sqrt{x+\ln x}}\,dx；二阶微分的分子笔迹无法可靠辨清；
  5. dy=(3x2+2x)e3x dxdy=(3x^2+2x)e^{3x}\,dx，d2y=(9x2+12x+2)e3x(dx)2d^2y=(9x^2+12x+2)e^{3x}(dx)^2；
  6. dy=2xcos⁡x2 dxdy=2x\cos x^2\,dx，d2y=(2cos⁡x2−4x2sin⁡x2)(dx)2d^2y=(2\cos x^2-4x^2\sin x^2)(dx)^2。

习题 5.1 · 第 3 题（第 2、4 小题）

利用微分近似计算：

  1. y=4+5xy=\sqrt{4+5x}，x=0x=0，dx=0.004dx=0.004 时的 dydy；
  2. y=tan⁡xy=\tan x，x=π4x=\dfrac\pi4，dx=−0.1dx=-0.1 时的 dydy。
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稿中写为

dy=5 dx25x+4=0.0025,dy=sec⁡2x dx=−0.2.dy=\frac{5\,dx}{2\sqrt{5x+4}}=0.0025, \qquad dy=\sec^2x\,dx=-0.2.

其中第一项的代数式清楚，但稿上最后的数值就是 0.00250.0025，这里未替它改正。

习题 5.2

习题 5.2 · 第 1 题

将多项式 1+3x+5x2−2x3+x41+3x+5x^2-2x^3+x^4 按 x−1x-1 的幂展开。

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稿中写出一个关于 x−1x-1 的四次展开式，但中间两个系数较模糊，末项记作 −16-16。由于原稿无法支持可靠的逐字符转录，这里不补造缺失系数。

习题 5.2 · 第 2、3、4 题

  1. 写出 eaxe^{ax}、ln⁡(1−x)\ln(1-x) 与 x3+2x+1x+1\dfrac{x^3+2x+1}{x+1} 的带 Peano 余项的 Maclaurin 公式；
  2. 求 arcsin⁡x\arcsin x 的带 Peano 余项的 Maclaurin 公式；
  3. 分别展开 xsin⁡x\dfrac{x}{\sin x}、ex−x2e^{x-x^2} 与 sin⁡x33\sqrt[3]{\sin x^3}，达到教材指定的阶数。
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手写稿中可可靠辨认的展开为

eax=1+ax+a2x22!+⋯+anxnn!+o(xn),e^{ax}=1+ax+\frac{a^2x^2}{2!}+\cdots+\frac{a^nx^n}{n!}+o(x^n), ln⁡(1−x)=−x−x22−⋯−xnn+o(xn),\ln(1-x)=-x-\frac{x^2}{2}-\cdots-\frac{x^n}{n}+o(x^n),

以及

arcsin⁡x=∑k=0n(2k−1)!!(2k+1)(2k)!!x2k+1+o(x2n+2).\arcsin x= \sum_{k=0}^{n} \frac{(2k-1)!!}{(2k+1)(2k)!!}x^{2k+1} +o(x^{2n+2}).

稿中还写出

xsin⁡x=1+x26+13x4360+o(x4),\frac{x}{\sin x}=1+\frac{x^2}{6}+\frac{13x^4}{360}+o(x^4),

以及

sin⁡x33=x−x718−17x133240+o(x13).\sqrt[3]{\sin x^3} =x-\frac{x^7}{18}-\frac{17x^{13}}{3240}+o(x^{13}).

ex−x2e^{x-x^2} 和有理函数的展开式有多处涂改，无法在不猜测的情况下完整还原。

习题 5.2 · 第 6、7 题

  1. 利用 Taylor 公式计算教材第 6 题的第 1、3、5 个极限；
  2. 计算 lim⁡n→∞n2ln⁡(nsin⁡1n)\displaystyle\lim_{n\to\infty}n^2\ln\left(n\sin\dfrac1n\right)。
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第 6 题三个结果在稿中依次记为

1128,−14,16.\frac1{128},\qquad -\frac14,\qquad \frac16.

第 7 题的推导末尾写成 16\dfrac16；原稿中间有明显划改，这里保留其提交值，不另行校正。

稿末还写有三处“不会”，编号看起来是 9、11（也可能是 12）和 14；第二个编号笔迹不足以唯一判定。

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