第 17 周作业 · 一阶微分方程

我按教学日历指定的题号，从《工科数学分析（上册）》逐题转录。源材料没有随这次教材作业提供答案，因此这里只保留题目，不补写答案。

习题 10.1

习题 10.1 · 第 2 题

在下列各题中，验证所给函数是微分方程的解：

1. $xy'+y=\cos x$，$\displaystyle y=\frac{\sin x}{x}$；
2. $xy'-y=xe^x$，$\displaystyle y=x\left[\int_1^x t^{-1}e^t\,dt+C\right]$。

习题 10.2

习题 10.2 · 第 1 题（第 1、3 小题）

求下列微分方程的通解：

1. $\displaystyle y'=\sqrt{(1-x^2)(1-y^2)}$；
2. $3xy'=y$。

习题 10.2 · 第 2 题（第 2、3 小题）

求下列齐次方程的通解：

1. $\displaystyle\frac{dy}{dx}=\frac{2y-x}{2x-y}$；
2. $\displaystyle(1+2e^{x/y})\,dx+2e^{x/y}\left(1-\frac xy\right)dy=0$。

习题 10.2 · 第 3 题（第 1、4 小题）

求下列微分方程的通解：

1. $\displaystyle\frac{dy}{dx}=\frac{2y-x+5}{2x-y-4}$；
2. $\displaystyle\frac{dy}{dx}=\frac{x+2y+1}{2x+4y-1}$。

习题 10.2 · 第 4 题（第 3、4 小题）

求下列微分方程的通解：

1. $\displaystyle x\frac{dy}{dx}+2y=\sin x$；
2. $\displaystyle\frac{dy}{dx}-\frac1{1-x^2}y=1+x$。

习题 10.2 · 第 5 题（第 2 小题）

求微分方程

$$x\frac{dy}{dx}+6y=3xy^{4/3}$$

的通解。

习题 10.2 · 第 6 题（第 2、4 小题）

求下列微分方程的通解：

1. $xy'+y=y(\ln x+\ln y)$；
2. $\displaystyle\cos y\frac{dy}{dx}=\sin y+\cos x\sin^2y$。