第 6 周作业 · 函数极限与连续性

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#作业

本篇按教学日历指定的题号，从《工科数学分析（上册）》逐题转录。源材料没有随这次作业提供答案，因此这里只保留题目，不补写答案。

习题 3.2

习题 3.2 · 第 1 题（第 2、5 小题）

用函数极限的定义证明：

  1. lim⁡x→−∞x−22x+3=12\displaystyle\lim_{x\to-\infty}\frac{x-2}{2x+3}=\frac12；
  2. lim⁡x→+∞x=+∞\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\sqrt x=+\infty。

习题 3.2 · 第 2 题

已知常数 aka_k（k=1,2,…,nk=1,2,\ldots,n）满足 ∑k=1nak=0\sum_{k=1}^n a_k=0，证明

lim⁡x→+∞∑k=1naksin⁡x+k=0.\lim_{x\to+\infty}\sum_{k=1}^n a_k\sin\sqrt{x+k}=0.

习题 3.2 · 第 3 题（第 1、3 小题）

求下列极限：

  1. lim⁡x→+∞(1−2x)−x\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\left(1-\frac2x\right)^{-x}；
  2. lim⁡x→0(1+x1−x)1/x\displaystyle\lim_{x\to0}\left(\frac{1+x}{1-x}\right)^{1/x}。

习题 3.2 · 第 4 题

利用 Heine 定理证明 lim⁡x→+∞cos⁡x\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\cos x 不存在。

习题 3.2 · 第 5 题

已知

lim⁡x→+∞(x−ax+a)x=e2,\lim_{x\to+\infty}\left(\frac{x-a}{x+a}\right)^x=e^2,

求常数 aa。

习题 3.2 · 第 8 题

设 f(x)f(x) 为周期函数且 lim⁡x→+∞f(x)=A\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)=A，证明 f(x)≡Af(x)\equiv A。

习题 3.3

习题 3.3 · 第 1 题

若 f(x)f(x) 恒正，且在 [a,b][a,b] 连续，按定义证明 1f(x)\dfrac1{f(x)} 在 [a,b][a,b] 连续。

习题 3.3 · 第 3 题

讨论下列函数的不连续点：

  1. y=x2−4x3−3x+2\displaystyle y=\frac{x^2-4}{x^3-3x+2}；
  2. f(x)={e1/x,x<0,sin⁡x,x⩾0;\displaystyle f(x)=\begin{cases}e^{1/x},&x<0,\\ \sin x,&x\geqslant0;\end{cases}
  3. y=xtan⁡x\displaystyle y=\frac{x}{\tan x}；
  4. y=x[1x]\displaystyle y=x\left[\frac1x\right]。

习题 3.3 · 第 4 题（第 1、3、5 小题）

计算极限：

  1. lim⁡x→1x3−1x−1\displaystyle\lim_{x\to1}\frac{\sqrt[3]x-1}{\sqrt x-1}；
  2. lim⁡x→01+xm−1−2xnx\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\sqrt[m]{1+x}-\sqrt[n]{1-2x}}x，其中 m,n∈N∗m,n\in\mathbb N^*；
  3. lim⁡x→0cos⁡x−cos⁡x3xsin⁡2x\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\sqrt{\cos x}-\sqrt[3]{\cos x}}{x\sin2x}。

习题 3.3 · 第 5 题

若存在正数 a≠1a\neq1，使定义在 (0,+∞)(0,+\infty) 上的函数 f(x)f(x) 满足 f(ax)=f(x)f(ax)=f(x)，证明：若极限 lim⁡x→0+f(x)\displaystyle\lim_{x\to0^+}f(x) 或 lim⁡x→+∞f(x)\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x) 存在，则 f(x)f(x) 为常值函数。

习题 3.3 · 第 7 题

已知定义在 R\mathbb R 上的函数 f(x)f(x) 在某个 x=x0x=x_0 处连续，且对所有 x,yx,y 都有

f(x+y)=f(x)+f(y),f(x+y)=f(x)+f(y),

证明 f(x)=f(1)xf(x)=f(1)x。

习题 3.3 · 第 9 题

设 f(x)∈C[a,b]f(x)\in C[a,b] 单调递增，且对任意 x∈[a,b]x\in[a,b] 都有 a<f(x)<ba<f(x)<b。任取 x1∈[a,b]x_1\in[a,b]，用递推公式

xn+1=f(xn),n=1,2,…x_{n+1}=f(x_n),\qquad n=1,2,\ldots

确定数列 {xn}\{x_n\}。证明 lim⁡n→∞xn\displaystyle\lim_{n\to\infty}x_n 存在，且其极限 cc 满足 c=f(c)c=f(c)。

习题 3.3 · 第 10 题

设函数 f(x)f(x) 满足

∣f(x)−f(y)∣⩽k∣x−y∣,∀x,y∈(−∞,+∞),|f(x)-f(y)|\leqslant k|x-y|, \qquad \forall x,y\in(-\infty,+\infty),

其中 0<k<10<k<1。证明：存在唯一的 ξ∈(−∞,+∞)\xi\in(-\infty,+\infty)，使得 f(ξ)=ξf(\xi)=\xi。

习题 3.4

习题 3.4 · 第 1 题（第 4—7、10 小题）

求下列无穷小或无穷大的阶：

  1. 1+tan⁡x−1−sin⁡x\sqrt{1+\tan x}-\sqrt{1-\sin x}，x→0x\to0；
  2. 1+1+x−2\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt x}}-\sqrt2，x→0+x\to0^+；
  3. x+x+x\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt x}}，x→0+x\to0^+；
  4. xx−1x^x-1，x→1x\to1；
  5. (1+x)(1+x2)⋯(1+xn)(1+x)(1+x^2)\cdots(1+x^n)，x→∞x\to\infty。

习题 3.4 · 第 3 题（第 2 小题）

求满足下列条件的常数 a,ba,b：

lim⁡x→−∞(x2−x+1−ax−b)=0.\lim_{x\to-\infty}\left(\sqrt{x^2-x+1}-ax-b\right)=0.

习题 3.4 · 第 4 题（第 1、5、6 小题）

用等价无穷小替换求下列极限：

  1. lim⁡x→01+xtan⁡x−11−cos⁡x\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\sqrt{1+x\tan x}-1}{1-\cos x}；
  2. lim⁡x→01+xsin⁡x−1ex2−1\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\sqrt{1+x\sin x}-1}{e^{x^2}-1}；
  3. lim⁡x→0(1+x2−2x3)1/n−1cos⁡x−1\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{(1+x^2-2x^3)^{1/n}-1}{\cos x-1}，其中 n∈N∗n\in\mathbb N^*。

习题 3.4 · 第 5 题（第 2、3 小题）

计算下列极限：

  1. lim⁡x→0(1+sin⁡x1+tan⁡x)1x(1−cos⁡x)\displaystyle\lim_{x\to0}\left(\frac{1+\sin x}{1+\tan x}\right)^{\frac1{x(1-\cos x)}}；
  2. lim⁡x→π/4(tan⁡x)1/tan⁡2x\displaystyle\lim_{x\to\pi/4}(\tan x)^{1/\tan2x}。

习题 3.4 · 第 6 题

求极限

lim⁡x→0(a1x+a2x+⋯+anxn)1/x,\lim_{x\to0}\left(\frac{a_1^x+a_2^x+\cdots+a_n^x}{n}\right)^{1/x},

其中常数 ai>0a_i>0，i=1,2,…,ni=1,2,\ldots,n。

习题 3.5

习题 3.5 · 第 2 题

证明函数 x\sqrt x 在区间 [0,+∞)[0,+\infty) 上一致连续。

习题 3.5 · 第 3 题（第 1、3 小题）

讨论下列函数在相应区间上的一致连续性：

  1. f(x)=sin⁡x2f(x)=\sin x^2：在 (−∞,+∞)(-\infty,+\infty) 上；在 [0,A][0,A] 上，其中 A>0A>0；
  2. f(x)=sin⁡1xf(x)=\sin\dfrac1x：在 (0,+∞)(0,+\infty) 上；在 (δ,+∞)(\delta,+\infty) 上，其中 δ>0\delta>0。

习题 3.5 · 第 4 题

设 f(x)f(x) 是定义在区间 II 上的函数。若存在正常数 LL，使得对任意 x,y∈Ix,y\in I 都有

∣f(x)−f(y)∣⩽L∣x−y∣,|f(x)-f(y)|\leqslant L|x-y|,

则称 ff 在 II 上满足 Lipschitz 条件。证明：如果 ff 在 II 上满足 Lipschitz 条件，则 ff 在 II 上一致连续。

习题 3.6

习题 3.6 · 第 1 题

设 f(x)f(x) 在 [a,b][a,b] 上连续，且存在实数 q∈(0,1)q\in(0,1)，使得对于区间 [a,b][a,b] 的每一点 xx，总存在 y∈[a,b]y\in[a,b]，使得

∣f(y)∣⩽q∣f(x)∣.|f(y)|\leqslant q|f(x)|.

证明：至少存在一点 ξ∈[a,b]\xi\in[a,b]，使得 f(ξ)=0f(\xi)=0。

习题 3.6 · 第 2 题

设 f(x)∈C[0,+∞)f(x)\in C[0,+\infty)，且 lim⁡x→+∞f(x)=A\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)=A（有限数）。证明 f(x)f(x) 在 [0,+∞)[0,+\infty) 上有界。

习题 3.6 · 第 4 题

设 f(x)∈C(−∞,+∞)f(x)\in C(-\infty,+\infty)，且 lim⁡x→∞f(x)=−∞\displaystyle\lim_{x\to\infty}f(x)=-\infty。证明 f(x)f(x) 在 (−∞,+∞)(-\infty,+\infty) 内能够取到它的最大值。

习题 3.6 · 第 5 题

设 f(x)∈C[a,b)f(x)\in C[a,b)，lim⁡x→b−f(x)=B\displaystyle\lim_{x\to b^-}f(x)=B。证明：若存在 x1∈[a,b)x_1\in[a,b)，使得 f(x1)>Bf(x_1)>B，则 f(x)f(x) 在 [a,b)[a,b) 上取得最大值。

习题 3.6 · 第 6 题

设 f(x)∈C[a,b]f(x)\in C[a,b]，且 f(x)f(x) 的最小值在唯一的点 x∗x^* 取得。又设 xn∈[a,b]x_n\in[a,b]（n=1,2,…n=1,2,\ldots）满足 f(xn)→f(x∗)f(x_n)\to f(x^*)。证明 xn→x∗x_n\to x^*。

习题 3.6 · 第 7 题

证明方程 2x−4x=02^x-4x=0 在 (0,12)(0,\frac12) 内至少有一个根。

习题 3.6 · 第 12 题

设 f(x)∈C(−∞,+∞)f(x)\in C(-\infty,+\infty)，且 lim⁡x→∞f(x)\displaystyle\lim_{x\to\infty}f(x) 存在。证明 f(x)f(x) 在 (−∞,+∞)(-\infty,+\infty) 上一致连续。

习题 3.6 · 第 13 题

设 f(x)f(x) 是 R\mathbb R 上的连续周期函数，证明 f(x)f(x) 在 R\mathbb R 上一致连续。

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