第 4 周作业 · 数列收敛与函数极限

#作业

我按教学日历指定的题号，从《工科数学分析（上册）》逐题转录。源材料没有随这次作业提供答案，因此这里只保留题目，不补写答案。

习题 2.4

习题 2.4 · 第 1 题

设 {an}\{a_n\} 单调递增，{bn}\{b_n\} 单调递减，且

lim⁡n→∞(bn−an)=0.\lim_{n\to\infty}(b_n-a_n)=0.

证明：lim⁡an\lim a_n、lim⁡bn\lim b_n 都存在且相等。

习题 2.4 · 第 2 题（第 1 小题）

证明下列数列收敛，并求其极限：设 0<a1<10<a_1<1，

an+1=an(2−an).a_{n+1}=a_n(2-a_n).

习题 2.4 · 第 3 题

设 an>0a_n>0，且

lim⁡n→∞anan+1=l>1.\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{a_{n+1}}=l>1.

证明 lim⁡n→∞an=0\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n=0。

习题 2.4 · 第 4 题

设 0<x0<130<x_0<\dfrac13，

xn+1=xn(2−3xn),n=0,1,2,…x_{n+1}=x_n(2-3x_n),\qquad n=0,1,2,\ldots

求 lim⁡n→∞xn\displaystyle\lim_{n\to\infty}x_n。

习题 2.4 · 第 6 题

  1. 设 a>0a>0，x1>0x_1>0，

    xn+1=12(xn+axn),n=1,2,…x_{n+1}=\frac12\left(x_n+\frac{a}{x_n}\right), \qquad n=1,2,\ldots

    求 lim⁡n→∞xn\displaystyle\lim_{n\to\infty}x_n。

  2. 设 a>0a>0，x1>0x_1>0，

    xn+1=13(2xn+axn2),n=1,2,…x_{n+1}=\frac13\left(2x_n+\frac{a}{x_n^2}\right), \qquad n=1,2,\ldots

    求 lim⁡n→∞xn\displaystyle\lim_{n\to\infty}x_n。

习题 2.4 · 第 8 题（第 2、3 小题）

求下列数列的极限：

  1. lim⁡n→∞(1+1n−2)n\displaystyle\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac1{n-2}\right)^n；
  2. lim⁡n→∞(1+1n−1n2)n\displaystyle\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac1n-\frac1{n^2}\right)^n。

习题 2.4 · 第 9 题

求下列极限：

  1. lim⁡n→∞ln⁡nn\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{\ln n}{n}；
  2. lim⁡n→∞1+12+⋯+1nln⁡n\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{1+\frac12+\cdots+\frac1n}{\ln n}。

习题 2.4 · 第 10 题

求极限

lim⁡n→∞(1n+1+1n+2+⋯+12n).\lim_{n\to\infty}\left(\frac1{n+1}+\frac1{n+2}+\cdots+\frac1{2n}\right).

习题 2.4 · 第 11 题

  1. 证明

    12n+1<n+1−n<12n,n=1,2,…\frac1{2\sqrt{n+1}}<\sqrt{n+1}-\sqrt n<\frac1{2\sqrt n}, \qquad n=1,2,\ldots

  2. 证明序列

    xn=1+12+⋯+1n−2nx_n=1+\frac1{\sqrt2}+\cdots+\frac1{\sqrt n}-2\sqrt n

    的极限存在。

习题 2.5

习题 2.5 · 第 4 题

证明下列数列收敛：

  1. an=1−12+13−⋯+(−1)n+11n\displaystyle a_n=1-\frac12+\frac13-\cdots+(-1)^{n+1}\frac1n；
  2. an=sin⁡1+sin⁡222+⋯+sin⁡n2n\displaystyle a_n=\sin1+\frac{\sin2}{2^2}+\cdots+\frac{\sin n}{2^n}；
  3. xn=cos⁡1!1⋅2+cos⁡2!2⋅3+⋯+cos⁡n!n(n+1)\displaystyle x_n=\frac{\cos1!}{1\cdot2}+\frac{\cos2!}{2\cdot3}+\cdots+\frac{\cos n!}{n(n+1)}。

习题 2.5 · 第 6 题

证明：数列 {an}\{a_n\} 有界的充分必要条件是，{an}\{a_n\} 的任意子列 {ank}\{a_{n_k}\} 都有收敛的子数列。

习题 2.5 · 第 7 题

设数列 {xn}\{x_n\} 满足 xn∈[a,b]x_n\in[a,b]，n=0,1,2,…n=0,1,2,\ldots，且发散。证明 {xn}\{x_n\} 中必有两个收敛于不同数的子列。

习题 2.5 · 第 8 题

设数列定义如下：

x0=1,xn+1=1xn+1,n=0,1,2,3,…x_0=1,\qquad x_{n+1}=\frac1{x_n+1},\qquad n=0,1,2,3,\ldots

用闭区间套定理证明

lim⁡n→∞xn=5−12.\lim_{n\to\infty}x_n=\frac{\sqrt5-1}{2}.

习题 3.1

习题 3.1 · 第 1 题（第 1、3 小题）

用“ε\varepsilon—δ\delta”定义证明下列极限：

  1. lim⁡x→2(x2−6x+10)=2\displaystyle\lim_{x\to2}(x^2-6x+10)=2；
  2. lim⁡x→x0cos⁡x=cos⁡x0\displaystyle\lim_{x\to x_0}\cos x=\cos x_0。

习题 3.1 · 第 6 题

使用夹逼定理求下列极限：

  1. lim⁡x→0+x[1x]\displaystyle\lim_{x\to0^+}x\left[\frac1x\right]；
  2. lim⁡x→0+(1x)x\displaystyle\lim_{x\to0^+}\left(\frac1x\right)^x。

习题 3.1 · 第 7 题（第 1、3、5、7 小题）

计算下列极限：

  1. lim⁡x→1x2−1x2+x−2\displaystyle\lim_{x\to1}\frac{x^2-1}{x^2+x-2}；
  2. lim⁡x→1x−1x3−1\displaystyle\lim_{x\to1}\frac{\sqrt x-1}{\sqrt[3]x-1}；
  3. lim⁡x→1x+x2+⋯+xk−kx−1\displaystyle\lim_{x\to1}\frac{x+x^2+\cdots+x^k-k}{x-1}，其中 k∈N∗k\in\mathbb N^*；
  4. lim⁡x→1(kxk−1−lxl−1)\displaystyle\lim_{x\to1}\left(\frac{k}{x^k-1}-\frac{l}{x^l-1}\right)，其中 k,l∈N∗k,l\in\mathbb N^*。

习题 3.1 · 第 11 题（第 1、3、5、7 小题）

计算下列极限：

  1. lim⁡x→0sin⁡3x−sin⁡xsin⁡2x\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\sin3x-\sin x}{\sin2x}；
  2. lim⁡x→01−cos⁡xcos⁡3xx2\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{1-\cos x\cos3x}{x^2}；
  3. lim⁡x→0sin⁡(sin⁡x)x\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\sin(\sin x)}x；
  4. lim⁡n→∞2nxsin⁡x2n\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{2^n}{x}\sin\frac{x}{2^n}，其中 x≠0x\neq0。

习题 3.1 · 第 12 题

求极限

lim⁡n→∞sin⁡(πn2+n)\lim_{n\to\infty}\sin\left(\pi\sqrt{n^2+\sqrt n}\right)

和

lim⁡n→∞2nsin⁡(π4n2+1),\lim_{n\to\infty}2n\sin\left(\pi\sqrt{4n^2+1}\right),

其中 nn 为正整数。

习题 3.1 · 第 13 题

证明

lim⁡x→0[lim⁡n→∞(cos⁡xcos⁡x2cos⁡x4⋯cos⁡x2n)]=1,\lim_{x\to0}\left[\lim_{n\to\infty} \left(\cos x\cos\frac x2\cos\frac x4\cdots\cos\frac{x}{2^n}\right) \right]=1,

其中 nn 为正整数。

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