第九讲 · 不完全信息动态博弈：PBE 与信号博弈

静态不完全信息博弈只需要问：每种类型面对别人的策略，是否都在做最优反应？动态不完全信息博弈还多了一层：行动本身会泄露信息，后手会根据观察到的行动更新对先手类型的判断。

因此，只写策略还不够。我们还要写清楚每个信息集上的信念，以及玩家如何根据信念继续行动。

1. 为什么贝叶斯 Nash 均衡还不够

贝叶斯 Nash 均衡要求每个类型在事前意义下最优，但它不一定排除这样的策略：

• 均衡路径上从来不会到达某个信息集；
• 玩家事先声称，到达那里以后会做一个对自己也不利的行动；
• 这个不可信的威胁反过来支撑了前面的选择。

这和完全信息动态博弈中 Nash 均衡的问题很像。区别在于，这里后手不仅要选择行动，还要先判断“走到这里的先手更可能是哪种类型”。

2. 均衡对象：策略加信念

在不完全信息动态博弈中，一个完整的判断对象通常写成

$$(\sigma,\mu),$$

其中：

• $\sigma$ 是所有玩家的策略组合；
• $\mu$ 是信念系统，描述玩家在每个信息集上认为各个节点出现的概率。

可以把二者理解成一个闭环：

1. 策略决定什么行动更可能被观察到；
2. 观察结果改变后手对类型的信念；
3. 信念决定后手的最优行动；
4. 后手的反应又影响先手愿不愿意执行原策略。

3. 精炼贝叶斯 Nash 均衡的三个要求

精炼贝叶斯 Nash 均衡通常简称 PBE。课件里的核心要求可以压缩成三句。

3.1 序贯理性

给定自己在当前信息集上的信念，以及其他玩家后续的策略，每个玩家在每一个信息集上的行动都必须最优。

这意味着不能只检查均衡路径。即使某个信息集在均衡中不会到达，玩家到了那里以后也不能故意做对自己不利的事。

3.2 路径内信念服从 Bayes 法则

如果一个信息集在均衡策略下以正概率到达，那么到达以后对各节点的信念必须由 Bayes 法则算出来。

例如，两种类型的先验概率分别为 $\Pr(t_H)$、$\Pr(t_L)$，观察到消息 $m$ 后，后验信念为

$$\Pr(t_H\mid m) = \frac{\Pr(m\mid t_H)\Pr(t_H)} {\Pr(m\mid t_H)\Pr(t_H)+\Pr(m\mid t_L)\Pr(t_L)}.$$

3.3 路径外也要给出信念

如果均衡中某个行动永远不会发生，Bayes 法则的分母为零，就不能直接推出观察到该行动后的信念。但 PBE 仍然要求写出这个路径外信念，并让后续行动在该信念下最优。

这正是许多信号博弈出现多个 PBE 的原因：不同的路径外信念，可能支撑不同的威胁或反应。

4. 四种均衡概念放在一起

概念	主要适用场景	核心检查
Nash 均衡	完全信息，静态或动态	没有人愿意单独改变完整策略
子博弈精炼 Nash 均衡	完全信息动态博弈	每个子博弈里都是 Nash 均衡
贝叶斯 Nash 均衡	不完全信息静态博弈	每种类型的策略都是期望收益最优反应
精炼贝叶斯 Nash 均衡	不完全信息动态博弈	策略序贯理性，信念与策略一致

一句话记忆：SPNE 给动态博弈补上可信性，PBE 再给不完全信息补上信念更新。

5. 信号博弈的标准结构

最典型的不完全信息动态博弈是信号博弈。

它的时间顺序是：

1. 自然选择发送者的类型 $t$；
2. 发送者知道自己的类型，并选择消息 $m$；
3. 接收者观察消息，但不知道发送者的真实类型；
4. 接收者形成后验信念 $\mu(t\mid m)$，再选择行动 $a$；
5. 双方获得收益。

发送者的纯策略不是一个孤立的消息，而是一个从类型到消息的映射：

$$m(t):T\rightarrow M.$$

接收者的纯策略则规定看到每一种消息后做什么：

$$a(m):M\rightarrow A.$$

6. 混同、分离与半分离

假设发送者有高、低两种类型，消息有 $L$、$R$ 两种。

6.1 混同均衡

两种类型发送同一个消息，例如

$$m(t_H)=m(t_L)=R.$$

接收者看到 $R$ 后无法进一步区分类型，路径内后验通常等于先验。另一个从未出现的消息 $L$ 位于路径外，它对应的信念需要单独指定。

6.2 分离均衡

两种类型发送不同消息，例如

$$m(t_H)=R,\qquad m(t_L)=L.$$

只要两种类型的先验概率都为正，接收者看到消息后就能完全识别类型：

$$\mu(t_H\mid R)=1, \qquad \mu(t_H\mid L)=0.$$

6.3 半分离均衡

至少一种类型采用混合策略。观察到某个消息后，接收者能获得部分信息，但不能完全识别类型。

考试中通常先穷举纯策略的混同、分离候选；如果都不存在，或题目明确要求，再求半分离均衡。

7. 纯策略 PBE 的标准求解法

信号博弈不要从整棵树同时硬算。按下面的顺序最稳。

第一步：猜发送者策略的形态

依次检查：

• 两种类型都发 $L$；
• 两种类型都发 $R$；
• 高类型发 $L$、低类型发 $R$；
• 高类型发 $R$、低类型发 $L$。

第二步：由候选策略计算路径内信念

分离候选的路径内信念通常是 $0$ 或 $1$；混同候选的路径内信念通常等于先验。

第三步：求接收者的最优反应

对每个消息分别比较接收者的期望收益。例如看到 $m$ 后，高类型的概率为 $\mu$，则行动 $a_1$ 的期望收益为

$$\mu u_R(a_1,t_H)+(1-\mu)u_R(a_1,t_L).$$

将它和其他行动比较，就能得到接收者在什么信念范围内选择什么。

第四步：检查发送者的激励相容

对每一种发送者类型都比较：遵守候选策略的收益，是否不低于改发另一个消息后的收益。

分离均衡通常对应两条激励相容约束：

$$u_S(t_H,m_H,a(m_H)) \ge u_S(t_H,m_L,a(m_L)),$$ $$u_S(t_L,m_L,a(m_L)) \ge u_S(t_L,m_H,a(m_H)).$$

第五步：补齐路径外信念并再次检查

混同候选一定存在一个路径外消息。先求出接收者选择某行动所需要的信念区间，再看这个反应能否阻止两种发送者偏离。

所以答案不能只写“双方都发 $R$”。完整答案至少包括：

• 发送者每种类型发什么；
• 接收者看到每种消息后做什么；
• 每个信息集上的信念；
• Bayes 更新和双方无偏离条件。

8. 为什么路径外信念这么重要

在混同均衡中，均衡路径没有告诉我们另一条消息来自哪种类型。如果接收者相信“只有坏类型才会偏离”，他可能用严厉行动回应，于是没有类型愿意偏离；如果接收者相信“只有好类型才会偏离”，同一个候选策略可能立刻崩溃。

PBE 允许一些路径外信念，因此有时仍然留下太多均衡。后面要学的直观标准、序贯均衡和颤抖手精炼，就是继续限制这些不合理信念。

9. 考试速成模板

遇到信号博弈题，可以直接写成下面六行：

1. 候选发送者策略是混同还是分离；
2. 用 Bayes 法则写出路径内信念；
3. 比较接收者期望收益，得到信念阈值和最优行动；
4. 写出每种发送者的激励相容条件；
5. 对混同候选补路径外信念区间；
6. 汇总完整的策略与信念系统，并声明满足序贯理性与一致性。

真正的主线只有一句话：消息改变信念，信念改变行动，预期到这种反应的发送者再决定是否发送消息。