第七讲 · 完全信息动态博弈的应用

第八讲看起来塞满了不同领域的模型，其实全部在重复同一种求解动作：先求后行动者在每种历史下的最优反应，再让先行动者预见这些反应并选择第一步。

一、所有模型共用的逆向结构

一个典型两阶段模型可以写成：

1. 参与人 1 先选择 $x$；
2. 参与人 2 观察 $x$ 后选择 $y$；
3. 收益为 $u_1(x,y)$ 与 $u_2(x,y)$。

求解时先得到参与人 2 的反应函数

$$y^*(x)\in\arg\max_y u_2(x,y),$$

再把它代回参与人 1 的问题：

$$x^*\in\arg\max_x u_1\bigl(x,y^*(x)\bigr).$$

最后得到的完整策略不只是 $y^*$，而是整条函数 $y^*(x)$：参与人 2 必须说明观察到每一种 $x$ 时分别怎样回应。

二、Stackelberg：先动者如何利用反应函数

两家企业生产同质产品。企业 1 先选产量 $q_1$，企业 2 观察后选 $q_2$。

设市场需求和成本为

$$P=a-(q_1+q_2),\qquad C_i=cq_i.$$

企业 2 给定 $q_1$ 后最大化

$$\pi_2=q_2(a-c-q_1-q_2),$$

所以反应函数为

$$q_2(q_1)=\frac{a-c-q_1}{2}.$$

企业 1 预见该反应，最大化

$$\pi_1=q_1\left(a-c-q_1-\frac{a-c-q_1}{2}\right),$$

得到

$$q_1^*=\frac{a-c}{2}, \qquad q_2^*=\frac{a-c}{4}.$$

相应利润为

$$\pi_1^*=\frac{(a-c)^2}{8}, \qquad \pi_2^*=\frac{(a-c)^2}{16}.$$

Cournot 同时行动时两家各生产 $(a-c)/3$。Stackelberg 领头企业主动扩大产量，迫使跟随者沿反应函数缩小产量，因此获得先动优势。

先动本身不保证有利。只有当先动者能公开、不可撤回地承诺自己的选择，并且对手的最优反应有利于先动者时，优势才成立。

三、Leontief 劳资谈判：先定工资，再定就业

工会先提出工资 $w$，企业观察后决定就业量 $L$。工会喜欢更高工资和更多就业，企业则按利润选择用工。

逆向求解分两步：

1. 给定 $w$，企业选择利润最大的劳动需求 $L(w)$；
2. 工会预见 $L(w)$，再最大化自己的效用 $U(w,L(w))$。

模型的重要结论不是某个固定工资公式，而是工资和就业之间的内生权衡：工会提高工资会增加每名受雇者的收益，却可能让企业减少就业。工会最终选择的是沿企业劳动需求曲线最适合自己的点。

若市场里企业数量、产品竞争或外部就业机会变化，企业的劳动需求函数也会变化，工会最优工资要随之重新求解。

四、关税与国际市场：先制定规则，再让企业竞争

课件中的时序是：

1. 两国政府同时选择关税；
2. 企业观察关税；
3. 企业再同时选择产量。

求解仍然从企业开始：给定关税，先求企业在国际市场上的产量 Nash 均衡；政府再预测该均衡如何随关税变化，并选择使本国福利最大的税率。

单个政府会把关税对外国企业和外国消费者的损失视为“外部”的，可能通过关税改善本国贸易条件；两国都这样做时，非合作关税会压低贸易和总福利。若把两国作为整体，相关外部性被内部化，自由贸易通常更优。

这与囚徒困境相似：各国分别最优的政策组合，可能不是共同最优。

五、工作竞赛：企业先设计奖金，工人再努力

企业不知道每位工人的精确产出噪声，但可以按相对排名发奖金。时序是：

1. 企业设计第一名和第二名的报酬；
2. 工人观察奖金差距后选择努力；
3. 随机产出实现，企业按排名支付报酬。

工人 $i$ 的期望收益可以写成

P_i(e_i,e_j)w_H+igl(1-P_i(e_i,e_j)\bigr)w_L-C(e_i),

其中 $P_i$ 是胜出的概率。真正刺激努力的是奖金差

$$\Delta w=w_H-w_L,$$

而不是工资整体平移。企业先预测“奖金差会诱导多大努力”，再权衡额外产出、工资成本和风险。

该模型解释了晋升竞赛和绩效排名，也提醒我们：奖金差过大可能诱发破坏合作、过度冒险或只优化排名指标。

六、投票次序：议程本身就是策略

三名成员在 $a,b,c$ 三个方案间投票，偏好可能形成循环：

$$a\succ b,\qquad b\succ c,\qquad c\succ a.$$

这时不存在一个方案能在两两多数决中击败所有其他方案，最终结果会依赖先比较哪两个、胜者再与谁比较。

若议程已经公开，而且每位成员能预见后一轮，他不会只按当前两方案的直接偏好投票，而会考虑当前胜者在下一轮面对谁。求解方法仍是逆向归纳：

1. 先求最后一轮两方案中谁会胜；
2. 回到前一轮，成员比较的不是眼前方案，而是它们分别会导致的最终结果；
3. 议程设置者可以利用这种预见能力影响结果。

所以制度设计不能只规定“多数决定”，还必须规定提案权、表决顺序、修正案规则和是否允许战略投票。

七、五个模型真正共同的结论

模型	第一阶段	第二阶段	核心效应
Stackelberg	领头企业定产量	跟随者定产量	可观察承诺带来先动优势
劳资谈判	工会定工资	企业定就业	工资与就业的内生权衡
关税	政府定政策	企业定产量	政策外部性造成低效率
工作竞赛	企业定奖金	工人定努力	奖金差塑造激励
投票次序	设定议程	成员逐轮表决	程序顺序改变最终选择

遇到新的动态应用时，不必先背它属于哪个著名模型。只要把时间顺序画清楚，先求后手反应，再代回前手问题，复杂故事就会还原成同一个 SPNE 求解框架。