第二讲 · 占优策略、劣策略与纯策略 Nash 均衡

把博弈写成收益矩阵后，求解通常按三层推进：先找占优策略，再删除严格劣策略，最后寻找互为最优反应的策略组合。三个概念逐渐变弱，因此能覆盖的博弈越来越多。

1. 囚徒困境：个人理性为什么带来集体坏结果

两个嫌疑人被分开审讯，选择坦白或抵赖。把刑期取负数作为收益：

玩家 1 \ 玩家 2	坦白	抵赖
坦白	$(-4,-4)$	$(0,-6)$
抵赖	$(-6,0)$	$(-1,-1)$

固定玩家 2 的选择，比较玩家 1：

• 玩家 2 坦白时，玩家 1 坦白得 $-4$，抵赖得 $-6$；
• 玩家 2 抵赖时，玩家 1 坦白得 $0$，抵赖得 $-1$。

所以无论对方怎样选，坦白都更好。博弈对称，玩家 2 也会坦白，最终得到 $(-4,-4)$。

但双方抵赖可以得到 $(-1,-1)$，两个人都更好。这里要区分两件事：

• 均衡回答“有没有人愿意单独改变”；
• Pareto 效率回答“能不能让至少一人更好且没人更差”。

Nash 均衡可能没有效率。

2. 占优策略与占优策略均衡

若策略 $s_i^*$ 面对对手的所有可能选择都不差于其他策略，它是玩家 $i$ 的弱占优策略：

$$u_i(s_i^*,s_{-i}) \ge u_i(s_i,s_{-i}), \qquad \forall s_i,\ \forall s_{-i}.$$

若所有比较都严格大于，则称为严格占优策略。

当每个玩家都有占优策略时，这些策略组成占优策略均衡。它很容易预测，但也非常罕见；多数现实博弈不存在一个“无论别人做什么都最好”的行动。

3. 严格劣策略与迭代删除

若存在另一个策略 $s_i'$，使它面对所有 $s_{-i}$ 都严格优于 $s_i$：

$$u_i(s_i',s_{-i}) > u_i(s_i,s_{-i}), \qquad \forall s_{-i},$$

那么 $s_i$ 是严格劣策略。理性玩家不会使用它，因此可以从策略集中删除。

删除后，原来不是劣策略的行动可能在缩小后的矩阵中变成劣策略，于是可以继续删除。这就是迭代删除严格劣策略。

3.1 为什么每删一轮都需要更多共同知识

• 第一轮删除只要求玩家自己理性；
• 第二轮还要求他相信别人会删除第一轮劣策略；
• 第三轮要求他相信别人也相信自己理性；
• 轮数越深，对理性共同知识的要求越高。

3.2 严格劣和弱劣不能混用

删除严格劣策略的最终存活集合与删除顺序无关，而且不会删除 Nash 均衡中实际使用的策略。

弱劣策略只要求“所有情况下都不差，至少一种情况下更好”。删除弱劣策略可能依赖顺序，也可能删掉某些 Nash 均衡。因此题目没有明确许可时，不要用弱劣删除冒充严格劣删除。

4. 最优反应

给定对手策略 $s_{-i}$，玩家 $i$ 能获得最高收益的策略集合叫最优反应：

$$BR_i(s_{-i}) = \left\{ s_i\in S_i: u_i(s_i,s_{-i}) \ge u_i(s_i',s_{-i}),\ \forall s_i'\in S_i \right\}.$$

占优策略要求面对所有 $s_{-i}$ 都是最优反应；普通最优反应只针对某个给定的 $s_{-i}$。Nash 均衡不要求玩家拥有占优策略，只要求实际选择在均衡点上互为最优反应。

5. 纯策略 Nash 均衡

策略组合 $s^*=(s_1^*,\dots,s_n^*)$ 是 Nash 均衡，当且仅当

$$u_i(s_i^*,s_{-i}^*) \ge u_i(s_i,s_{-i}^*), \qquad \forall i,\ \forall s_i.$$

它有两个完全等价的直觉：

• 每个人都在对别人的实际策略做最优反应；
• 给定别人不变，没有人能通过单独改变策略提高收益。

Nash 均衡不表示大家合作、不表示收益相等，也不表示社会福利最大；它只表示策略预测不会被任何一个人的单方行动推翻。

6. 矩阵题的划线法

两人矩阵按下面三步做：

1. 固定玩家 2 的每一列，比较该列中玩家 1 的收益，也就是每格第一个数，把最大值全部标出；
2. 固定玩家 1 的每一行，比较该行中玩家 2 的收益，也就是每格第二个数，把最大值全部标出；
3. 同一格里的两个收益都被标记时，该策略组合就是纯策略 Nash 均衡。

若最大值并列，必须全部标记，否则会漏掉均衡。

7. 箭头法是同一件事的反面

也可以从每个格子出发，检查哪位玩家能够通过单方改变策略提高收益，并朝更好的格子画箭头。

• 没有箭头指出去的格子是 Nash 均衡；
• 每个格子都有箭头指出去，则不存在纯策略 Nash 均衡；
• 多个格子没有出箭头，则存在多个纯策略 Nash 均衡。

划线法在找“留下来的最优反应”，箭头法在找“离开的有利偏离”，二者完全等价。

8. 三种解概念的关系

$$\text{占优策略均衡} \subseteq \text{迭代删除严格劣策略可解的均衡} \subseteq \text{Nash 均衡}.$$

• 占优策略均衡一定是 Nash 均衡；
• Nash 均衡使用的策略不会被严格劣策略迭代删除；
• 仅仅在删除后存活，不代表一定组成 Nash 均衡；
• 一个博弈可能没有纯策略 Nash 均衡，也可能有多个。

9. 考试速成模板

面对有限矩阵题：

1. 先检查是否存在占优策略；
2. 再检查并迭代删除严格劣策略；
3. 即使已经删除，也用最优反应法检查 Nash 均衡；
4. 分别逐列标玩家 1、逐行标玩家 2；
5. 汇总所有双标格子；
6. 若没有双标格子，进入下一讲的混合策略求解。

最关键的动作始终是：固定别人，只比较自己。