202x 年春真题

我在下面把课程目录中的春季学期真题转写成便于作答的版本。题目与解析放在同一页；我把收益矩阵重排成 Markdown，并从原卷单独裁出了第 6 题必须使用的博弈树。

建议先独立完成每道题，再手动展开题目下方的答案。折叠内容不是课程提供的官方标准答案，而是我根据原卷独立推导的解析。

第 1 题：策略式博弈

考虑如下博弈：

玩家 1 \ 玩家 2	$B_1$	$B_2$	$B_3$
$A_1$	$(0,8)$	$(8,0)$	$(10,6)$
$A_2$	$(8,8)$	$(0,4)$	$(10,6)$
$A_3$	$(6,10)$	$(6,8)$	$(12,12)$

通过严格劣策略的迭代删除化简该博弈。
用在收益下画线的方法找出所有纯策略 Nash 均衡。
求该博弈的混合策略 Nash 均衡。

查看第 1 题答案与解析

1. 严格劣策略的迭代删除

先看玩家 2。逐行比较 $B_1$ 与 $B_2$ 的收益：

8>0,\qquad 8>4,\qquad 10>8.

所以 $B_2$ 被 $B_1$ 严格支配，可以删除。

在只剩 $B_1$ 、 $B_3$ 后，玩家 1 的收益为：

玩家 1	$B_1$	$B_3$
$A_1$	$0$	$10$
$A_2$	$8$	$10$
$A_3$	$6$	$12$

$A_3$ 在两列下的收益都严格高于 $A_1$ ，所以继续删除 $A_1$ 。最终化简为

玩家 1 \ 玩家 2	$B_1$	$B_3$
$A_2$	$(8,8)$	$(10,6)$
$A_3$	$(6,10)$	$(12,12)$

2. 纯策略 Nash 均衡

在化简后的矩阵中：

面对 $B_1$ ，玩家 1 的最优反应是 $A_2$ ；面对 $A_2$ ，玩家 2 的最优反应是 $B_1$ ；
面对 $B_3$ ，玩家 1 的最优反应是 $A_3$ ；面对 $A_3$ ，玩家 2 的最优反应是 $B_3$ 。

所以两个纯策略 Nash 均衡为

(A_2,B_1),\qquad (A_3,B_3).

3. 混合策略 Nash 均衡

设玩家 1 以概率 $p$ 选择 $A_2$ ，以概率 $1-p$ 选择 $A_3$ ；玩家 2 以概率 $q$ 选择 $B_1$ ，以概率 $1-q$ 选择 $B_3$ 。

为了让玩家 1 混合，玩家 2 的 $q$ 必须使玩家 1 无差异：

U_1(A_2)=8q+10(1-q)=10-2q,

U_1(A_3)=6q+12(1-q)=12-6q.

令二者相等，得到

q=\frac12.

同理，为了让玩家 2 混合：

U_2(B_1)=8p+10(1-p)=10-2p,

U_2(B_3)=6p+12(1-p)=12-6p.

令二者相等，得到

p=\frac12.

因此，写回原博弈的三维概率分布，混合策略均衡为

\sigma_1=\left(0,\frac12,\frac12\right), \qquad \sigma_2=\left(\frac12,0,\frac12\right).

第 2 题： $n$ 家厂商的 Cournot 竞争

市场中有 $n$ 家厂商生产同质产品。市场反需求函数为

P(Q)=a-Q, \qquad Q=\sum_{i=1}^{n}q_i,

厂商 $i$ 的成本函数为

C_i(q_i)=cq_i.

求该博弈的 Nash 均衡产量、市场总产量、价格和各厂商利润。
讨论 $n\to\infty$ 时这些变量的极限。

查看第 2 题答案与解析

厂商 $i$ 的利润为

\pi_i = \left(a-q_i-\sum_{j\ne i}q_j-c\right)q_i.

对 $q_i$ 求一阶条件：

\frac{\partial\pi_i}{\partial q_i} = a-c-2q_i-\sum_{j\ne i}q_j =0.

对称均衡中 $q_i=q$ ，所以

a-c-(n+1)q=0,

得到每家厂商产量

q_i^*=\frac{a-c}{n+1}.

于是

Q^*=\frac{n(a-c)}{n+1},

P^*=a-Q^*=\frac{a+nc}{n+1},

\pi_i^* = (P^*-c)q_i^* = \left(\frac{a-c}{n+1}\right)^2.

当 $n\to\infty$ 时，

q_i^*\to0, \qquad Q^*\to a-c, \qquad P^*\to c, \qquad \pi_i^*\to0.

厂商数量增加把市场推向完全竞争结果：价格趋近边际成本，单个厂商的产量和利润趋近于零。

第 3 题：两阶段重复博弈

考虑下面的一次博弈，并将它重复两次。第一阶段结束后，双方都能观察到第一阶段的行动；不考虑折现。

玩家 1 \ 玩家 2	$B_1$	$B_2$	$B_3$
$A_1$	$(3,1)$	$(0,0)$	$(5,0)$
$A_2$	$(2,1)$	$(1,2)$	$(3,1)$
$A_3$	$(1,2)$	$(0,1)$	$(4,4)$

是否存在一个纯策略子博弈精炼 Nash 均衡，使第一阶段实现 $(A_3,B_3)$ ，也就是当期收益 $(4,4)$ ？若存在，请写出完整策略并说明理由；若不存在，请说明原因。

查看第 3 题答案与解析

先找一次博弈的纯策略 Nash 均衡：

(A_1,B_1)\text{，收益 }(3,1),

(A_2,B_2)\text{，收益 }(1,2).

目标结果 $(A_3,B_3)$ 的收益是 $(4,4)$ ，但它不是一次博弈的 Nash 均衡：面对 $B_3$ ，玩家 1 改选 $A_1$ 可得 $5$ 。

尽管如此，下面的两阶段策略可以在第一阶段实现它：

第一阶段选择 $(A_3,B_3)$ ；
若第一阶段双方都遵守，第二阶段选择 $(A_1,B_1)$ ；
若第一阶段出现任何其他历史，第二阶段选择 $(A_2,B_2)$ 。

第二阶段每段历史之后安排的都是一次博弈 Nash 均衡，因此续局行为可信。

玩家 1 遵守时，两阶段总收益为

4+3=7.

他第一阶段单独偏离时，最高当期收益为 $5$ ，随后在惩罚均衡中得到 $1$ ，总计

5+1=6<7.

玩家 2 遵守时总收益为

4+1=5.

他在玩家 1 选择 $A_3$ 时单独偏离，第一阶段最高只能得到 $2$ ，随后在惩罚均衡中得到 $2$ ，总计

2+2=4<5.

所以双方都不愿意偏离。答案是：存在这样的纯策略子博弈精炼 Nash 均衡。

第 4 题：无限重复 Bertrand 竞争

两家厂商进行无限重复的 Bertrand 价格竞争。双方在合作阶段都制定垄断价格

p_m=\frac{a+c}{2}.

若任何一方偏离，则从下一期开始双方永远制定 $p=c$ 。已知单方偏离能够获得的当期利润为

\frac{(a-c)^2}{4}.

求使上述冷酷触发策略能够维持合作的折现因子 $\delta$ 范围。

查看第 4 题答案与解析

垄断总利润为

\frac{(a-c)^2}{4}.

合作时两家平分市场，因此每家每期利润为

\pi_C=\frac{(a-c)^2}{8}.

偏离者略微降价后独占市场，当期利润为

\pi_D=\frac{(a-c)^2}{4}.

偏离后永远制定 $p=c$ ，后续利润为零。合作的贴现总收益为

\frac{\pi_C}{1-\delta},

偏离收益只有 $\pi_D$ 。无偏离条件为

\frac{(a-c)^2/8}{1-\delta} \ge \frac{(a-c)^2}{4}.

约去公共项后得到

\delta\ge\frac12.

因此折现因子范围为

\boxed{\delta\in\left[\frac12,1\right)}.

第 5 题：带私人扰动的硬币匹配

玩家 1 和玩家 2 分别观察自己的私人类型

t_1,t_2\sim U[0,x],

二者相互独立。然后双方同时选择正面 $F$ 或反面 $B$ ，收益矩阵为：

玩家 1 \ 玩家 2	$F$	$B$
$F$	$(1+t_1,-1)$	$(-1,1+t_2)$
$B$	$(-1,1)$	$(1,-1)$

求该不完全信息博弈的纯策略贝叶斯 Nash 均衡，并说明当 $x\to0$ 时，它如何逼近原硬币匹配博弈中双方各以 $1/2$ 概率随机化的混合策略均衡。

查看第 5 题答案与解析

设玩家 1 选择 $F$ 的总体概率为 $p$ ，玩家 2 选择 $F$ 的总体概率为 $q$ 。

1. 玩家 1 的阈值策略

类型为 $t_1$ 的玩家 1 选择 $F$ 的期望收益为

q(1+t_1)+(1-q)(-1),

选择 $B$ 的期望收益为

q(-1)+(1-q)(1).

选择 $F$ 当且仅当

q(4+t_1)\ge2.

因此存在阈值

\alpha=\frac{2}{q}-4,

使玩家 1 在 $t_1\ge\alpha$ 时选择 $F$ ，在 $t_1<\alpha$ 时选择 $B$ 。

2. 玩家 2 的阈值策略

同理，类型为 $t_2$ 的玩家 2 选择 $B$ 当且仅当

p(4+t_2)\ge2.

令

\beta=\frac{2}{p}-4,

则玩家 2 在 $t_2\le\beta$ 时选择 $F$ ，在 $t_2>\beta$ 时选择 $B$ 。

由于类型在 $[0,x]$ 上均匀分布，

p=\frac{x-\alpha}{x}, \qquad q=\frac{\beta}{x}.

代入两条阈值关系，得到

(\alpha+4)\beta=2x,

(\beta+4)(x-\alpha)=2x.

解得

\alpha = -2+\sqrt{\frac{x^2+4x+8}{2}},

\beta=\frac{2x}{\alpha+4}.

因此纯策略贝叶斯 Nash 均衡可以写成：

s_1(t_1) = \begin{cases} B,&t_1<\alpha,\\ F,&t_1\ge\alpha, \end{cases}

s_2(t_2) = \begin{cases} F,&t_2\le\beta,\\ B,&t_2>\beta. \end{cases}

边界类型无差异，单个点的选择不影响总体概率。

当 $x\to0$ 时，

\frac{\alpha}{x}\to\frac12, \qquad \frac{\beta}{x}\to\frac12.

所以

p=\frac{x-\alpha}{x}\to\frac12, \qquad q=\frac{\beta}{x}\to\frac12.

每个类型都采用确定性行动，但总体行动概率收敛到原完全信息硬币匹配博弈的 $1/2$ — $1/2$ 混合均衡。这就是混合策略的“纯化”。

第 6 题：混同信号博弈

第 6 题的信号博弈树

根据原题图中的收益，求一个两种发送者类型都选择 $R$ 的混同精炼贝叶斯 Nash 均衡。答案应完整写出：

两种发送者类型的策略；
接收者看到 $L$ 和 $R$ 后的行动；
接收者在两个信息集上的信念；
支撑该均衡的信念范围。

查看第 6 题答案与解析

设接收者看到 $L$ 后认为发送者是类型 $t_1$ 的概率为

p=\Pr(t_1\mid L),

看到 $R$ 后的相应概率为

q=\Pr(t_1\mid R).

候选混同策略是两种类型都选择 $R$ 。由于 $R$ 在均衡路径上，且两种类型的先验概率都是 $1/2$ ，Bayes 法则给出

q=\frac12.

接收者看到 $R$ 后，选择 $u$ 的期望收益为

\frac12\cdot1+\frac12\cdot0=\frac12,

选择 $d$ 的期望收益为

\frac12\cdot0+\frac12\cdot2=1.

所以接收者在 $R$ 后选择 $d$ 。

$L$ 位于均衡路径外。接收者看到 $L$ 后，选择 $u$ 的期望收益为

2p,

选择 $d$ 的期望收益为

1-p.

因此接收者在

2p\ge1-p

也就是

p\ge\frac13

时选择 $u$ 。

在接收者采取“看到 $L$ 选 $u$ ，看到 $R$ 选 $d$ ”时：

类型 $t_1$ 留在 $R$ 得到 $3$ ，偏离到 $L$ 只得到 $1$ ；
类型 $t_2$ 留在 $R$ 得到 $2$ ，偏离到 $L$ 只得到 $0$ 。

两种类型都不愿意偏离。因此一族混同 PBE 为：

s_1(t_1)=s_1(t_2)=R,

s_2(L)=u,\qquad s_2(R)=d,

\Pr(t_1\mid R)=\frac12, \qquad \Pr(t_1\mid L)=p\ge\frac13.

当 $p=1/3$ 时，接收者在 $L$ 后对 $u$ 、 $d$ 无差异，选择 $u$ 仍然是最优反应。