灵敏度分析：最优基何时保持不变

灵敏度分析问的不是“参数变了以后重算一遍”，而是：旧最优表还能用到什么程度，若不能直接用，怎样从旧表最快恢复最优。

两个总判据

当前基 $B$ 保持最优，当且仅当同时满足

$$B^{-1}b\ge0$$

和

$$\sigma^T=c_B^TB^{-1}A-c^T\le0.$$

前者是原可行性，后者是对偶可行性。所有变化都归结为重新检查这两式。

非基变量目标系数变化

若非基变量 $x_k$ 的系数从 $c_k$ 变为 $c_k'=c_k+\Delta$，只有它的检验数变化：

$$\sigma_k'=\sigma_k-\Delta.$$

要求 $\sigma_k'\le0$，就得到 $\Delta$ 的允许范围。若越界，$x_k$ 应进基，从原最优表继续做原始单纯形。

基变量目标系数变化

若第 $r$ 个基变量系数增加 $\Delta$，则所有检验数都可能变化：

$$\sigma_j'=\sigma_j+\Delta\,(B^{-1}A_j)_r$$

（基变量本身的检验数仍为零）。对每个非基列写 $\sigma_j'\le0$，取这些不等式的交集，就是允许范围。

最优值在基不变时变为

$$z'=z+\Delta\,(B^{-1}b)_r.$$

右端向量变化

若 $b'=b+\Delta b$，检验数不变，新的基本变量为

$$x_B'=B^{-1}b+B^{-1}\Delta b.$$

要求每个分量非负。若只改变 $b_i$，令 $\Delta b=\delta e_i$，逐行解

$$B^{-1}b+\delta B^{-1}e_i\ge0.$$

越界后若检验数仍满足最优性，可从旧表做对偶单纯形。

技术系数或新增变量变化

新增变量相当于新增一列 $a$ 与目标系数 $c_a$。只需计算它相对当前基的检验数

$$\sigma_a=c_B^TB^{-1}a-c_a.$$

若 $\sigma_a\le0$，当前解仍最优且新变量取零；若 $\sigma_a>0$，让新变量进基。

新增约束则把当前解代入检查。若违反新约束，将其用当前非基变量表示后追加到表中，常可用对偶单纯形修复。

影子价格与范围

最优对偶解

$$y^T=c_B^TB^{-1}$$

给出右端变化的局部价值：

$$z(b+\Delta b)=z(b)+y^T\Delta b.$$

但该式只在当前基保持可行和最优的参数范围内成立。越过临界值后，最优基变化，影子价格也会跳变。

考试要点

• 改 $c$ 主要检查检验数；改 $b$ 主要检查右端。
• “最优基不变”比“最优解不变”更严格：基不变时数值解也可能随 $b$ 连续变化。
• 允许范围的端点通常对应退化或多重最优，应包含还是排除要按题意说明。
• 写出参数不等式的交集，不要只检查其中一个检验数或一个基本变量。