绪论：把现实问题写成优化模型

最优化不是“找一个看起来不错的方案”，而是在明确的规则下回答：哪些方案允许，怎样比较好坏，最好值能否真正取得。

一个优化模型的四个部件

标准写法是

\begin{aligned} \min_{x\in\mathbb R^n}\quad &f(x)\\ \text{s.t.}\quad &g_i(x)\ge0,\quad i=1,\ldots,m,\\ &h_j(x)=0,\quad j=1,\ldots,p. \end{aligned}

若只要求在某个集合 $D$ 内搜索，也可写成 $\min_{x\in D}f(x)$ 。一个点 $x^*$ 是全局最优解，意味着对所有 $x\in S$ 都有 $f(x^*)\le f(x)$ ；局部最优只比较某个邻域内的可行点。

例：工厂生产两种产品，每件分别消耗两类资源。产品 1、2 的利润为 3、5，资源约束为

2x_1+x_2\le8,\qquad x_1+3x_2\le9,\qquad x_1,x_2\ge0.

若最大化利润，模型为

\max 3x_1+5x_2.

建模时按这个顺序最稳：

考虑

f(x_1,x_2)=x_1^2+(1-x_1x_2)^2.

沿 $x_1=1/x_2$ 且 $x_2\to\infty$ ，第二项为零，第一项趋于零，所以函数下确界是 $0$ 。但有限点上若第一项为零，则 $x_1=0$ ，第二项等于 $1$ ；因此没有点真正取得 $0$ 。

这说明“最优值”和“最优解”不同：

f^*=\inf_{x\in S}f(x)

可能存在，但达到 $f^*$ 的 $x^*$ 不存在。常见存在性结论是：若可行域非空且紧，目标函数连续，则最优解存在。

$x^0$ 的 $\varepsilon$ 邻域为

N_\varepsilon(x^0)=\{x:\lVert x-x^0\rVert<\varepsilon\}.

若存在一个邻域完全落在集合内， $x^0$ 是内点；任意邻域都同时碰到集合和补集，则是边界点。有限维欧氏空间中，“闭且有界”就是紧。紧性的重要作用是防止可行序列逃向无穷远，也防止极限点掉出可行域。