2021–2022 学年第二学期真题

卷面日期为 2022 年 6 月 25 日。源文件没有官方答案；以下解析按原题独立推导。

一、填空题（20 分）

1. 常数特解

$y^{(4)}-y^{(3)}+y'+y=-1$ 的一个特解是什么？

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$u(x)=-1$。

2. Laplace 平移

已知 $\mathcal L[f(t)]=1/s$，求 $\mathcal L[e^{2t}f(t)]$。

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$$\mathcal L[e^{2t}f(t)]=F(s-2)=\frac1{s-2}.$$

3. 六阶齐次方程

六阶实常系数齐次方程有特征根 $i,2-3i,3,1$，写出通解。

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补上共轭根 $-i,2+3i$，得到

$$\begin{aligned} y={}&C_1\cos x+C_2\sin x +e^{2x}(C_3\cos3x+C_4\sin3x)\\ &+C_5e^{3x}+C_6e^x. \end{aligned}$$

4. 线性相关性

$2x-e^x$、$1+\sin x$、$x\cos x$ 在 $\mathbb R$ 上是否线性相关？

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不线性相关。$e^x$ 的增长先迫使第一项系数为零，再由 $x\cos x$ 的无界振荡迫使第三项系数为零，最后第二项系数也只能为零。

5. $y'=2+y^2$

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$$y=\sqrt2\tan(\sqrt2x+C).$$

二、解微分方程（40 分）

1. $y'=xy(1+y^2)$

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$y=0$ 是解。非零解满足

$$\ln|y|-\frac12\ln(1+y^2)=\frac{x^2}{2}+C,$$

也可写成 $y^2/(1+y^2)=Ce^{x^2}$。

2. $x\sqrt{1-(y')^2}=y'$

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由原式符号条件选取

$$y'=\frac{x}{\sqrt{1+x^2}},$$

所以 $y=\sqrt{1+x^2}+C$。

3. $y=(y')^2-xy'+x^2/2$

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令 $p=y'$，求导得 $(2p-x)(1-p')=0$。一般解与奇解分别为

$$y=\frac{x^2}{2}+Cx+C^2,$$ $$y=\frac{x^2}{4}.$$

4. $xy''+y'=3x^2$

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$(xy')'=3x^2$，连续积分两次得

$$y=\frac{x^3}{3}+C_1\ln|x|+C_2.$$

5. $xdy+(2xy-e^{-2x})dx=0$

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积分因子为 $e^{2x}/x$。乘入后积分得

$$e^{2x}y-\ln|x|=C.$$

三、方程与方程组（30 分）

1. $x^3y'''-3x^2y''+6xy'-6y=2x$

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指标多项式为 $(m-1)(m-2)(m-3)$。右端与 $m=1$ 共振，而

$$P(D)[x\ln|x|]=2x.$$

因此

$$y=C_1x+C_2x^2+C_3x^3+x\ln|x|.$$

2. $x'=-x-2y,\ y'=x-4y$

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特征值为 $-2,-3$，可取特征向量 $(2,1)^\mathsf T$、$(1,1)^\mathsf T$，故

$$\binom{x}{y} =C_1e^{-2t}\binom21+C_2e^{-3t}\binom11.$$

四、存在区间（10 分）

1. 初值问题

求

$$y'=(y-2)(y-1)e^{x^2+y^2},\qquad y(0)=1.$$

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$y\equiv1$ 满足方程和初值；右端光滑，局部解唯一，所以这就是唯一解。

2. 全局存在

证明同一方程经过任意满足 $1\le y_0\le2$ 的点 $(x_0,y_0)$ 的解定义在整个实轴。

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$y=1$、$y=2$ 是两条平衡解。由唯一性，从条带 $1\le y\le2$ 内出发的解不能穿过边界，因此始终有界。右端在每个有限 $x$ 区间与该闭条带上连续光滑，延拓定理排除了有限端点，故定义域为 $\mathbb R$。