2022–2023 学年第二学期真题

#真题

卷面标题为“2022–2023 学年第二学期常微分方程考题”。源文件没有官方答案；下列折叠内容均按题面独立推导。

一、填空题（24 分）

1. 饱和定义区间

方程

y′=y(y−2)1+y2+x2,y(x0)=1y'=\frac{y(y-2)}{1+y^2+x^2},\qquad y(x_0)=1

的解 y=φ(x)y=\varphi(x) 的饱和定义区间是什么？

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右端在整个 R2\mathbb R^2 上光滑，而且作为 yy 的函数增长有界，不会造成有限时刻爆炸。故饱和定义区间为

(−∞,+∞).(-\infty,+\infty).

2. Laplace 变换

已知 L[f(t)]=1/(s2+1)\mathcal L[f(t)]=1/(s^2+1)，求 L[tetf(t)]\mathcal L[te^tf(t)]。

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先平移再使用乘 tt 的求导性质：

L[tetf(t)]=−dds1(s−1)2+1=2(s−1)[(s−1)2+1]2.\mathcal L[te^tf(t)] =-\frac d{ds}\frac1{(s-1)^2+1} =\frac{2(s-1)}{[(s-1)^2+1]^2}.

3. 恰当方程

求 (y+x)dx+xdy=0(y+x)dx+xdy=0 的通解。

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左端正是 d(xy+x2/2)d(xy+x^2/2)，故

xy+x22=C.xy+\frac{x^2}{2}=C.

4. 曲线族的包络

曲线族 y=Cx+C2y=Cx+C^2 是否有包络？若有，写出表达式。

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联立 y−Cx−C2=0y-Cx-C^2=0 与 −x−2C=0-x-2C=0，消去 C=−x/2C=-x/2，得

y=−x24.y=-\frac{x^2}{4}.

5. 积分因子

为

(4x2+6xy+3y2)dx+(2x2+3xy)dy=0(4x^2+6xy+3y^2)dx+(2x^2+3xy)dy=0

写出一个积分因子和通解。

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乘以 μ=x\mu=x 后成为恰当方程。势函数可取

x4+2x3y+32x2y2,x^4+2x^3y+\frac32x^2y^2,

将等式两边同乘 22 并重新记常数，通解可写为

x2(2x2+4xy+3y2)=C.x^2(2x^2+4xy+3y^2)=C.

二、解微分方程（40 分）

1. x1+(y′)2=2y′x\sqrt{1+(y')^2}=2y'

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平方并结合原式的符号条件，

y′=x4−x2,∣x∣<2.y'=\frac{x}{\sqrt{4-x^2}},\qquad |x|<2.

所以

y=−4−x2+C.y=-\sqrt{4-x^2}+C.

2. x2y′′+xy′−4y=xx^2y''+xy'-4y=x

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Euler 方程的指标根为 m=±2m=\pm2。一次项特解取 −x/3-x/3，故

y=C1x2+C2x−2−x3.y=C_1x^2+C_2x^{-2}-\frac x3.

3. xy′′′−y′′=(y′′′)2+1xy'''-y''=(y''')^2+1

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令 p=y′′p=y''、q=p′=y′′′q=p'=y'''，则

p=xq−q2−1.p=xq-q^2-1.

一般分支 q=Cq=C 给出

y=C6x3−C2+12x2+C1x+C2.y=\frac C6x^3-\frac{C^2+1}{2}x^2+C_1x+C_2.

包络分支 x=2qx=2q 给出

y=x448−x22+C1x+C2.y=\frac{x^4}{48}-\frac{x^2}{2}+C_1x+C_2.

4. xy′−y=xxy'-y=x

查看答案 (yx)′=1x,\left(\frac yx\right)'=\frac1x,

所以

y=xln⁡∣x∣+Cx.y=x\ln|x|+Cx.

5. (4y−3x)y′=2x+3y+5(4y-3x)y'=2x+3y+5

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平移

X=x+2017,Y=y+1517,X=x+\frac{20}{17},\qquad Y=y+\frac{15}{17},

方程化为 (4Y−3X)dY−(2X+3Y)dX=0(4Y-3X)dY-(2X+3Y)dX=0，这是恰当方程。因此

−X2−3XY+2Y2=C.-X^2-3XY+2Y^2=C.

三、线性方程（15 分）

求

{y′′′−2y′′−3y′=e−x,y(1)=y′(1)=y′′(1)=0\begin{cases} y'''-2y''-3y'=e^{-x},\\ y(1)=y'(1)=y''(1)=0 \end{cases}

的解。

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令 s=x−1s=x-1。齐次特征根为 0,3,−10,3,-1，且右端与 −1-1 共振。代入三个初值后可写成

y=e−1[−13+148e3s+516e−s+14se−s].y=e^{-1}\left[ -\frac13+\frac1{48}e^{3s} +\frac5{16}e^{-s}+\frac14se^{-s} \right].

四、非齐次方程组（12 分）

求

{x′=3x+y+1,y′=−4x−2y\begin{cases} x'=3x+y+1,\\ y'=-4x-2y \end{cases}

的通解。

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平衡点为 (−1,2)(-1,2)。平移后特征值为 2,−12,-1，故

x=−1+C1e2t+C2e−t,y=2−C1e2t−4C2e−t.\begin{aligned} x&=-1+C_1e^{2t}+C_2e^{-t},\\ y&=2-C_1e^{2t}-4C_2e^{-t}. \end{aligned}

五、比较定理（9 分）

设 f(x,y),F(x,y)f(x,y),F(x,y) 在区域内连续并关于 yy 满足局部 Lipschitz 条件，且 f(x,y)<F(x,y)f(x,y)<F(x,y)。两方程

y′=f(x,y),y′=F(x,y)y'=f(x,y),\qquad y'=F(x,y)

从同一点 (x0,y0)(x_0,y_0) 出发的解分别为 φ,Φ\varphi,\Phi。证明 x>x0x>x_0 时 φ(x)<Φ(x)\varphi(x)<\Phi(x)。

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两解在 x0x_0 处相等，而

Φ′(x0)−φ′(x0)=F(x0,y0)−f(x0,y0)>0.\Phi'(x_0)-\varphi'(x_0) =F(x_0,y_0)-f(x_0,y_0)>0.

若之后存在第一次重新相交时刻 x1x_1，则在 x1x_1 有 Φ=φ\Phi=\varphi 且从左侧看差值由正降到零，应满足 Φ′(x1)−φ′(x1)≤0\Phi'(x_1)-\varphi'(x_1)\le0；但严格不等式又给出该差值大于零，矛盾。因此不可能重新相交。

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