第 4 次作业：连续系统响应与拉普拉斯逆变换

#作业

我按 4信号与系统第四次作业.pdf 整理，共五题。

1. 起始点跳变

分别判断 r(t)r(t) 在 t=0t=0 是否跳变，并求 r(0+)r(0^+)：

  1. r′(t)+2r(t)=e(t)r'(t)+2r(t)=e(t)，r(0−)=0r(0^-)=0，e(t)=u(t)e(t)=u(t)；
  2. r′(t)+2r(t)=3e′(t)r'(t)+2r(t)=3e'(t)，r(0−)=0r(0^-)=0，e(t)=u(t)e(t)=u(t)。
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第一题右端没有冲激。跨越 00 积分后，r(0+)−r(0−)=0r(0^+)-r(0^-)=0，所以不跳变，r(0+)=0r(0^+)=0。

第二题右端为 3δ(t)3\delta(t)。跨越 00 积分：

r(0+)−r(0−)=3,r(0^+)-r(0^-)=3,

所以发生跳变，r(0+)=3r(0^+)=3。

2. 自由、受迫、零输入与零状态响应

给定

r′′+3r′+2r=e′+3e,r''+3r'+2r=e'+3e,

e(t)=u(t)e(t)=u(t)、r(0−)=1r(0^-)=1、r′(0−)=2r'(0^-)=2。求自由响应、受迫响应、零输入响应，并分别用卷积、待定系数和拉普拉斯变换求零状态响应。

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特征根为 −1,−2-1,-2，阶跃输入的常数特解为 3/23/2。冲激匹配给出 r(0+)=1r(0^+)=1、r′(0+)=3r'(0^+)=3，于是全响应为

r(t)=(2e−t−52e−2t+32)u(t).r(t)=\left(2e^{-t}-\frac52e^{-2t}+\frac32\right)u(t).

自由响应与受迫响应分别为

rf(t)=(2e−t−52e−2t)u(t),rp(t)=32u(t).r_f(t)=\left(2e^{-t}-\frac52e^{-2t}\right)u(t), \qquad r_p(t)=\frac32u(t).

零输入响应保持原初始状态：

rzi(t)=(4e−t−3e−2t)u(t).r_{zi}(t)=(4e^{-t}-3e^{-2t})u(t).

零状态传递函数为

H(s)=s+3(s+1)(s+2),H(s)=\frac{s+3}{(s+1)(s+2)},

冲激响应 h(t)=(2e−t−e−2t)u(t)h(t)=(2e^{-t}-e^{-2t})u(t)。与阶跃卷积，或直接分解

Rzs(s)=s+3s(s+1)(s+2),R_{zs}(s)=\frac{s+3}{s(s+1)(s+2)},

都得到

rzs(t)=(−2e−t+12e−2t+32)u(t).r_{zs}(t)=\left(-2e^{-t}+\frac12e^{-2t}+\frac32\right)u(t).

3. 拉普拉斯逆变换

求：

50s+2500s2+101s+100,s+5(s+1)3(s+4),1s(s2+2)\frac{50s+2500}{s^2+101s+100},\qquad \frac{s+5}{(s+1)^3(s+4)},\qquad \frac1{s(s^2+2)}

的拉普拉斯逆变换。

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因 s2+101s+100=(s+1)(s+100)s^2+101s+100=(s+1)(s+100)，第一式为

(250099e−100t+245099e−t)u(t).\left(\frac{2500}{99}e^{-100t} +\frac{2450}{99}e^{-t}\right)u(t).

第二式的部分分式为

4/3(s+1)3−1/9(s+1)2+1/27s+1−1/27s+4,\frac{4/3}{(s+1)^3}-\frac{1/9}{(s+1)^2} +\frac{1/27}{s+1}-\frac{1/27}{s+4},

所以逆变换是

[(23t2−19t+127)e−t−127e−4t]u(t).\left[\left(\frac23t^2-\frac19t+\frac1{27}\right)e^{-t} -\frac1{27}e^{-4t}\right]u(t).

第三式写成

12(1s−ss2+2),\frac12\left(\frac1s-\frac{s}{s^2+2}\right),

故逆变换为

12[1−cos⁡(2t)]u(t).\frac12[1-\cos(\sqrt2t)]u(t).

4. 正反馈系统

前向通路为 s/(s2+4s+4)s/(s^2+4s+4) 与增益 KK 串联，输出以正反馈回到加法器。求闭环系统函数、稳定条件和临界稳定时的冲激响应。

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由正反馈关系

H(s)=Kss2+(4−K)s+4.H(s)=\frac{Ks}{s^2+(4-K)s+4}.

二阶系统稳定要求两个分母系数均为正；常数项已为 4，所以

K<4.K<4.

临界稳定时 K=4K=4：

H(s)=4ss2+4,h(t)=4cos⁡(2t)u(t).H(s)=\frac{4s}{s^2+4},\qquad h(t)=4\cos(2t)u(t).

5. 一阶极点位置与冲激响应形状

一阶极点在 s=σ+jωs=\sigma+j\omega 平面不同位置时，说明对应因果冲激响应的形状：比较左/右半平面、实轴上下方，以及离实轴远近的影响。

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实系数系统的复极点成共轭对，对应基本形状

h(t)=Aeσtcos⁡(ωt+ϕ)u(t).h(t)=Ae^{\sigma t}\cos(\omega t+\phi)u(t).
  • σ<0\sigma<0：包络衰减；越向左，衰减越快。
  • σ=0\sigma=0：等幅振荡；若 ω=0\omega=0，则为常数阶跃形态。
  • σ>0\sigma>0：包络增长；越向右，增长越快。
  • ∣ω∣|\omega| 越大：振荡越快；在实轴上 ω=0\omega=0，只剩纯指数。
  • 上、下半平面的共轭极点给出同一实振荡频率，差别体现在复表示而非最终实波形。

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