第 13 讲：二维 DFT 与图像频域处理

数字图像可看作二维离散信号 f[x,y]f[x,y]。横纵坐标经过空间采样，像素值经过幅度量化；空间分辨率描述采样密度，灰度或颜色位深描述量化精度。

二维 DFT

对 M×NM\times N 图像，

F[u,v]=∑x=0M−1∑y=0N−1f[x,y]e−j2π(ux/M+vy/N).F[u,v]= \sum_{x=0}^{M-1}\sum_{y=0}^{N-1} f[x,y] e^{-j2\pi(ux/M+vy/N)}.

逆变换为

f[x,y]=1MN∑u=0M−1∑v=0N−1F[u,v]ej2π(ux/M+vy/N).f[x,y]=\frac1{MN} \sum_{u=0}^{M-1}\sum_{v=0}^{N-1} F[u,v] e^{j2\pi(ux/M+vy/N)}.

二维复指数可分离成 xx、yy 两个一维因子，因此二维 DFT 可先对每一行做一维 DFT，再对每一列做一维 DFT，顺序可交换。

频谱怎样看

F[0,0]F[0,0] 是所有像素之和，对应直流平均亮度。低空间频率表示缓慢变化的大尺度结构，高空间频率表示边缘、纹理和噪声。

直接显示时，直流位于左上角。乘

(−1)x+y(-1)^{x+y}

会把频谱平移半个周期，使低频移到图像中心，便于观察。实际显示常用

log⁡(1+∣F[u,v]∣)\log(1+|F[u,v]|)

压缩动态范围，否则强直流会淹没其余频率。

自然图像的能量通常集中在中心附近的低频区域。课件用原图与中心化频谱并排展示，并标出了不同半径内累计的能量比例。

自然图像与中心化二维频谱中的能量集中区域

对称性

实图像满足二维共轭对称：

F[(−u)M,(−v)N]=F∗[u,v].F[(-u)_M,(-v)_N]=F^*[u,v].

所以幅度谱关于中心点对称。若处理后破坏这种对称性，逆变换可能出现非零虚部。

二维卷积定理

线性空间不变滤波：

g=f∗hg=f*h

在频域成为

G[u,v]=F[u,v]H[u,v].G[u,v]=F[u,v]H[u,v].

DFT 默认对应二维循环卷积。要得到线性卷积，若图像为 M×NM\times N、核为 P×QP\times Q，至少补零到

(M+P−1)×(N+Q−1).(M+P-1)\times(N+Q-1).

核的原点位置也会引入相位。把空间核直接放进大数组左上角前，应确认锚点与所用 FFT 库的移位约定。

低通与高通

  • 低通保留中心附近频率，平滑图像、抑制高频噪声，同时模糊边缘；
  • 高通抑制低频，突出边缘与细节，也会放大噪声；
  • 带阻或陷波可去除集中在特定频点的周期噪声。

理想频域“硬截断”有陡峭边界，其空间冲激响应带长振铃，会在图像边缘产生 Gibbs 型振铃。Gaussian 等平滑过渡滤波器通常振铃更弱。

采样、量化与混叠

空间采样不足时，细密纹理会折叠成摩尔纹；缩小图像前应先低通。量化位数不足会产生假轮廓，与空间混叠是两种不同失真：

  • 采样不足：坐标分辨率不够；
  • 量化不足：像素取值级数不够。

幅度和相位谁更重要

幅度谱告诉各空间频率有多少能量；相位谱编码结构在图像中的相对位置。把两幅图的幅度与相位交换后，重建图往往更像提供相位的那幅，说明结构定位高度依赖相位。

这不表示幅度不重要，而是图像可辨认轮廓对相位关系特别敏感。

实际处理流程

  1. 把图像转成浮点并决定是否中心化；
  2. 选择补零尺寸，避免循环卷积污染；
  3. 计算 2D-DFT/FFT；
  4. 构造与频率坐标一致的滤波器；
  5. 逐点相乘；
  6. 逆变换并取数值误差下的实部；
  7. 裁剪补零区域、恢复中心化；
  8. 合理缩放显示，不把显示归一化误当成真实数值。

课件中的图像应用不是独立新理论，而是一维信号分析在二维空间坐标上的直接推广。

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