2019–2020 学年第二学期期末真题（A 卷）

#真题

原卷日期为 2020 年 6 月 19 日，满分 100 分。原卷不附答案；下面保留题目数据，并依据课程方法补全解析。

一、单项选择题（每空 2 分，共 20 分）

1. 系统性质

系统 r(t)=3e′(t)+te(t)r(t)=3e'(t)+te(t) 是：

  • A. 线性时不变系统
  • B. 非线性时变系统
  • C. 线性时变系统
  • D. 非线性时不变系统
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答案：C。微分、数乘和相加都保持线性，但显式系数 tt 会随绝对时间改变，所以系统时变。

2. 零初始 LTI 系统的齐次性

零初始连续 LTI 系统在输入 e(t)e(t) 时全响应为 r(t)r(t)。输入改为 2e(t)2e(t) 时，全响应是：

  • A. r(t)r(t)
  • B. r(t)/2r(t)/2
  • C. 2r(t)2r(t)
  • D. 发生变化，但以上答案均不正确
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答案：C。零初始时全响应就是零状态响应；由线性系统的齐次性，输入乘 2，响应也乘 2。

3. 冲激信号的抽样

计算

∫−∞+∞(e−t+t)δ(t+2) dt.\int_{-\infty}^{+\infty}(e^{-t}+t)\delta(t+2)\,dt.
  • A. e2e^2
  • B. e2−2e^2-2
  • C. 22
  • D. e2+2e^2+2
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答案：B。δ(t+2)\delta(t+2) 在 t=−2t=-2 处抽样，结果为 e−(−2)+(−2)=e2−2e^{-(-2)}+(-2)=e^2-2。

4. 余弦调制

若 f(t)↔F(jω)f(t)\leftrightarrow F(j\omega)，则 f(t)cos⁡ω0tf(t)\cos\omega_0t 的傅里叶变换是：

  • A. 12{F[j(ω+ω0)]+F[j(ω−ω0)]}\dfrac12\{F[j(\omega+\omega_0)]+F[j(\omega-\omega_0)]\}
  • B. 12{F[j(ω+ω0)]−F[j(ω−ω0)]}\dfrac12\{F[j(\omega+\omega_0)]-F[j(\omega-\omega_0)]\}
  • C. j2{F[j(ω+ω0)]−F[j(ω−ω0)]}\dfrac j2\{F[j(\omega+\omega_0)]-F[j(\omega-\omega_0)]\}
  • D. j2{F[j(ω+ω0)]+F[j(ω−ω0)]}\dfrac j2\{F[j(\omega+\omega_0)]+F[j(\omega-\omega_0)]\}
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答案：A。把余弦写成两个复指数之和，即得两份平移频谱的平均：

F{f(t)cos⁡ω0t}=12[F(j(ω+ω0))+F(j(ω−ω0))].\mathcal F\{f(t)\cos\omega_0t\} =\frac12\left[F\bigl(j(\omega+\omega_0)\bigr)+F\bigl(j(\omega-\omega_0)\bigr)\right].

5. 连续周期信号的频谱

连续周期信号的频谱具有：

  • A. 连续性、周期性
  • B. 连续性、非周期性
  • C. 离散性、周期性
  • D. 离散性、非周期性
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答案：D。连续周期信号展开为离散谐波线谱；这些谱线一般不构成关于连续频率变量的周期函数。

6. 离散反馈系统的稳定范围

离散反馈系统

H(z)=zz−2(1−k)H(z)=\frac{z}{z-2(1-k)}

稳定时，kk 应满足：

  • A. 0.5<k<1.50.5<k<1.5
  • B. k>0.5k>0.5
  • C. k<1.5k<1.5
  • D. −∞<k<+∞-\infty<k<+\infty
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答案：A。唯一极点为 z=2(1−k)z=2(1-k)，稳定要求

∣2(1−k)∣<1⟹0.5<k<1.5.|2(1-k)|<1 \quad\Longrightarrow\quad 0.5<k<1.5.

7. 由对称性判断傅里叶级数

原卷图中的周期矩形波在 (−T,−T/2)(-T,-T/2) 与 (0,T/2)(0,T/2) 为正，在 (−T/2,0)(-T/2,0) 与 (T/2,T)(T/2,T) 为负。它的傅里叶级数只包含：

  • A. 正弦分量的奇次谐波
  • B. 正弦分量的偶次谐波
  • C. 余弦分量的奇次谐波
  • D. 余弦分量的偶次谐波
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答案：C。该波形关于 t=0t=0 偶对称，因此只含余弦；又满足半波反对称，因此只保留奇次谐波。

8. 拉普拉斯变换的尺度与复频移位

若 f(t)↔F(s)f(t)\leftrightarrow F(s)，则 g(t)=e−atf(t/a)g(t)=e^{-at}f(t/a)（a>0a>0）的拉普拉斯变换是：

  • A. aF(as+1)aF(as+1)
  • B. aF(a2s+a2)aF(a^2s+a^2)
  • C. aF(as+a2)aF(as+a^2)
  • D. 1aF(sa+1)\dfrac1aF\left(\dfrac sa+1\right)
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答案：C。先用时间尺度性质 L{f(t/a)}=aF(as)\mathcal L\{f(t/a)\}=aF(as)，再由乘 e−ate^{-at} 对应 s↦s+as\mapsto s+a：

G(s)=aF(a(s+a))=aF(as+a2).G(s)=aF\bigl(a(s+a)\bigr)=aF(as+a^2).

9. z 变换收敛域

序列

x3[n]={an,n≥0,bn,n<0,0<a<bx_3[n]=\begin{cases}a^n,&n\ge0,\\b^n,&n<0, \end{cases}\qquad 0<a<b

的 z 变换收敛域是：

  • A. a<∣z∣<ba<|z|<b
  • B. ∣z∣>a|z|>a
  • C. ∣z∣<b|z|<b
  • D. ∣z∣>a|z|>a 或 ∣z∣<b|z|<b
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答案：A。右边序列 anu[n]a^n u[n] 要求 ∣z∣>a|z|>a；左边序列 bnb^n 要求 ∣z∣<b|z|<b。两部分同时存在时取交集 a<∣z∣<ba<|z|<b。

10. 二维 DFT 与图像信息

下列关于图像二维离散傅里叶变换的说法中不正确的是：

  • A. 直流分量表示图像的平均灰度
  • B. 低频分量表示缓慢变化部分
  • C. 高频分量表示边缘、细节等
  • D. 振幅表示图像灰度的位置信息
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答案：D。频谱振幅说明各空间频率分量的强弱；图像结构的位置关系主要由相位承载。

二、填空题（每空 2 分，共 20 分）

1. 拉普拉斯逆变换

已知

F(s)=2s+3(s+2)(s+3),F(s)=\frac{2s+3}{(s+2)(s+3)},

则 f(t)=f(t)=____。

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答案：

f(t)=(−e−2t+3e−3t)u(t).f(t)=(-e^{-2t}+3e^{-3t})u(t).

因为

F(s)=−1s+2+3s+3.F(s)=-\frac1{s+2}+\frac3{s+3}.

2. 冲激信号的傅里叶变换

计算

∫−∞+∞e−jωt[δ(t)−δ(t−t0)] dt.\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-j\omega t}[\delta(t)-\delta(t-t_0)]\,dt.
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答案：1−e−jωt01-e^{-j\omega t_0}。第一项在 t=0t=0 抽样，第二项在 t=t0t=t_0 抽样，并保留题目中的负号。

3. 连续与离散 LTI 系统的渐近稳定条件

连续时间 LTI 系统渐近稳定时，系统函数的极点位于 s 平面的____；离散时间 LTI 系统渐近稳定时，系统函数的极点位于 z 平面的____。

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答案：分别为 左半平面 和 单位圆内。两种条件都在保证系统自然模态随时间衰减。

4. 由框图写差分方程

原卷框图等价于

y[n]=52x[n]+32x[n−1]+12x[n−2]−12y[n−1].y[n]=\frac52x[n]+\frac32x[n-1]+\frac12x[n-2]-\frac12y[n-1].

将它写成标准差分方程。

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答案：

y[n]+12y[n−1]=52x[n]+32x[n−1]+12x[n−2].y[n]+\frac12y[n-1] =\frac52x[n]+\frac32x[n-1]+\frac12x[n-2].

只需把反馈项 −y[n−1]/2-y[n-1]/2 移到等号左边。

5. 由阶跃响应求冲激响应

系统的单位阶跃响应为 g(t)=e−tu(t)g(t)=e^{-t}u(t)，则单位冲激响应 h(t)=h(t)=____。

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答案：

h(t)=g′(t)=δ(t)−e−tu(t).h(t)=g'(t)=\delta(t)-e^{-t}u(t).

求导时不能漏掉 u(t)u(t) 在原点产生的冲激项。

6. 稳定因果系统冲激响应的终值

因果连续 LTI 系统 H(s)H(s) 的全部极点均位于 s 左半平面，则 lim⁡t→∞h(t)=\lim_{t\to\infty}h(t)=____。

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答案：0。左半平面的极点对应随时间指数衰减的自然模态。

7. z 逆变换

已知

X(z)=10z(z−1)(z+1),∣z∣>1,X(z)=\frac{10z}{(z-1)(z+1)},\qquad |z|>1,

则 x[n]=x[n]=____。

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答案：

x[n]=5[1−(−1)n]u[n].x[n]=5[1-(-1)^n]u[n].

部分分式为

X(z)=5zz−1−5zz+1,X(z)=5\frac{z}{z-1}-5\frac{z}{z+1},

收敛域在最外极点之外，所以两项都取右边序列。

8. 由微分方程求系统函数

连续时间系统满足

r′′(t)+6r′(t)+7r(t)=3e′(t)+9e(t),r''(t)+6r'(t)+7r(t)=3e'(t)+9e(t),

则系统函数为____。

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答案：

H(s)=R(s)E(s)=3s+9s2+6s+7=3(s+3)s2+6s+7.H(s)=\frac{R(s)}{E(s)} =\frac{3s+9}{s^2+6s+7} =\frac{3(s+3)}{s^2+6s+7}.

系统函数按零初始条件定义。

9. 周期序列的卷积和

周期分别为 3 和 5 的两个离散序列作卷积和，结果周期为____。

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卷面预期答案：15。这里采用课程里周期卷积的常用结论，取两个周期的最小公倍数

lcm⁡(3,5)=15.\operatorname{lcm}(3,5)=15.

严格地说，结果的基本周期只保证整除 1515，特殊序列可能出现更小的基本周期；对普通双无限序列的卷积，还要先说明求和收敛。考试题省略了这些退化情形和定义条件，因此按课程约定填写 1515。

三、第 1 题：傅里叶变换（12 分）

已知 F[f(t)]=F(ω)\mathcal F[f(t)]=F(\omega)，求 f(2t−5)f(2t-5)、tf(2t)tf(2t)、t df(t)/dtt\,df(t)/dt 的傅里叶变换。

展开解析 F{f(2t−5)}=12F(ω2)e−j5ω/2,\mathcal F\{f(2t-5)\} =\frac12F\left(\frac\omega2\right)e^{-j5\omega/2}, F{tf(2t)}=jddω[12F(ω2)]=j4F′(ω2),\mathcal F\{tf(2t)\} =j\frac{d}{d\omega}\left[\frac12F\left(\frac\omega2\right)\right] =\frac j4F'\left(\frac\omega2\right), F{tdfdt}=−F(ω)−ωF′(ω).\mathcal F\left\{t\frac{df}{dt}\right\} =-F(\omega)-\omega F'(\omega).

四、第 2 题：稳定性判断（6 分）

判断下列系统的稳定性并说明原因：

  1. 连续系统极点为 −2-2、3+4j3+4j；
  2. 连续系统特征方程 D(s)=2s4+s2+5s+1D(s)=2s^4+s^2+5s+1；
  3. 离散系统特征方程 D(z)=z2−z+0.25D(z)=z^2-z+0.25。
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  1. 不稳定。极点 3+4j3+4j 位于右半平面。
  2. 不稳定。Routh 表首列可用一个很小的 ε>0\varepsilon>0 代替缺失的 s3s^3 项，符号依次为正、正、负、正、正，发生两次变号，说明有两个右半平面根。
  3. 稳定。D(z)=(z−0.5)2D(z)=(z-0.5)^2，重极点仍严格位于单位圆内。

五、第 3 题：拉普拉斯变换（6 分）

求 (t−1)e−atu(t−1)(t-1)e^{-at}u(t-1) 的拉普拉斯变换。

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令 τ=t−1\tau=t-1，则

(t−1)e−atu(t−1)=e−aτe−aτu(τ).(t-1)e^{-at}u(t-1)=e^{-a}\tau e^{-a\tau}u(\tau).

再使用延时性质：

X(s)=e−(s+a)(s+a)2,ℜ(s)>−a.X(s)=\frac{e^{-(s+a)}}{(s+a)^2},\qquad \Re(s)>-a.

六、第 4 题：离散卷积（10 分）

原卷图中两序列的非零样值为：

kk01234
f[k]f[k]0.40.30.20.10
h[k]h[k]0.30.20.20.20.1

求 f[k]∗h[k]f[k]*h[k]。

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逐项滑动相乘，n=0,1,…,7n=0,1,\ldots,7 的结果为

[0.12, 0.17, 0.20, 0.21, 0.16, 0.09, 0.04, 0.01].[0.12,\ 0.17,\ 0.20,\ 0.21,\ 0.16,\ 0.09,\ 0.04,\ 0.01].

例如 n=3n=3 时

y[3]=0.4×0.2+0.3×0.2+0.2×0.2+0.1×0.3=0.21.y[3]=0.4\times0.2+0.3\times0.2+0.2\times0.2+0.1\times0.3=0.21.

七、第 5 题：连续系统响应（8 分）

系统满足

r′′(t)+3r′(t)+2r(t)=2e′(t)+6e(t),r''(t)+3r'(t)+2r(t)=2e'(t)+6e(t),

且 e(t)=u(t)e(t)=u(t)、r(0−)=2r(0^-)=2、r′(0−)=1r'(0^-)=1。求自由响应与零状态响应。

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在 t=0t=0 附近，输入导数产生 2δ(t)2\delta(t)，使 r′(0+)=3r'(0^+)=3，而 r(0+)=2r(0^+)=2。t>0t>0 时特解为 3，因此全响应为

r(t)=[3+e−t−2e−2t]u(t).r(t)=[3+e^{-t}-2e^{-2t}]u(t).

其中自由响应是齐次部分

rf(t)=(e−t−2e−2t)u(t).r_f(t)=(e^{-t}-2e^{-2t})u(t).

零状态时

Rzs(s)=2(s+3)s(s+1)(s+2)=3s−4s+1+1s+2,R_{zs}(s)=\frac{2(s+3)}{s(s+1)(s+2)} =\frac3s-\frac4{s+1}+\frac1{s+2},

所以

rzs(t)=(3−4e−t+e−2t)u(t).r_{zs}(t)=(3-4e^{-t}+e^{-2t})u(t).

八、第 6 题：离散系统（12 分）

已知

y[n]−34y[n−1]+18y[n−2]=x[n]+x[n−1],y[n]-\frac34y[n-1]+\frac18y[n-2]=x[n]+x[n-1],

输入 x[n]=u[n]x[n]=u[n]，初值 y[−1]=1y[-1]=1、y[−2]=0y[-2]=0。求系统函数、单位样值响应与零状态响应。

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零初始 zz 变换给出

H(z)=1+z−11−34z−1+18z−2.H(z)=\frac{1+z^{-1}}{1-\frac34z^{-1}+\frac18z^{-2}}.

分母极点为 1/21/2 与 1/41/4。因果部分分式为

H(z)=6zz−1/2−5zz−1/4,H(z)=6\frac{z}{z-1/2}-5\frac{z}{z-1/4},

故

h[n]=[6(12)n−5(14)n]u[n].h[n]=\left[6\left(\frac12\right)^n-5\left(\frac14\right)^n\right]u[n].

与 u[n]u[n] 卷积，或对 H(z)z/(z−1)H(z)z/(z-1) 分解，得到

yzs[n]=[163−6(12)n+53(14)n]u[n].y_{zs}[n]=\left[\frac{16}{3}-6\left(\frac12\right)^n +\frac53\left(\frac14\right)^n\right]u[n].

九、第 7 题：状态方程转移函数（6 分）

系统状态方程与输出方程为

{λ1′(t)=−5λ1(t)−λ2(t)+2e(t),λ2′(t)=3λ1(t)−λ2(t)+5e(t),\begin{cases} \lambda_1'(t)=-5\lambda_1(t)-\lambda_2(t)+2e(t),\\ \lambda_2'(t)=3\lambda_1(t)-\lambda_2(t)+5e(t), \end{cases} r(t)=λ1(t)+λ2(t).r(t)=\lambda_1(t)+\lambda_2(t).

求转移函数 H(s)H(s)。

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写成 λ˙=Aλ+Be\dot\lambda=A\lambda+Be、r=Cλr=C\lambda，其中

A=[−5−13−1],B=[25],C=[11].A=\begin{bmatrix}-5&-1\\3&-1\end{bmatrix},\quad B=\begin{bmatrix}2\\5\end{bmatrix},\quad C=\begin{bmatrix}1&1\end{bmatrix}.

于是

H(s)=C(sI−A)−1B=7s+28s2+6s+8=7s+2.H(s)=C(sI-A)^{-1}B =\frac{7s+28}{s^2+6s+8} =\frac7{s+2}.

最后一步的约分说明 s=−4s=-4 对输入输出通道不可见；它仍可能存在于内部状态中。

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