2022–2023 学年第二学期期末真题（B 卷）

#真题

原卷署名为“2022–2023 学年第二学期期末”，卷面日期为 2023 年 9 月 5 日，满分 100 分。原卷不附答案；下面的解析依据题面、课程课件与基本变换性质推导。

一、单项选择题（每空 2 分，共 20 分）

1. 系统性质

已知系统方程为 r(t)=3e(t)r(t)=3e(t)，则该系统是：

  • A. 线性、时不变系统
  • B. 线性、时变系统
  • C. 非线性、时不变系统
  • D. 非线性、时变系统
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答案：A。常数倍映射满足叠加性；输入平移后，输出也只发生同样的平移，所以系统线性且时不变。

2. 零初始 LTI 系统的齐次性

某连续 LTI 系统初始状态为零，输入 e(t)e(t) 时全响应为 r(t)r(t)。输入改为 0.5e(t)0.5e(t) 时，全响应是：

  • A. r(t)r(t)
  • B. r(t)/2r(t)/2
  • C. 2r(t)2r(t)
  • D. 发生变化，但以上答案均不正确
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答案：B。零初始时全响应就是零状态响应；线性系统满足齐次性，输入缩小为一半，响应也缩小为一半。

3. 冲激信号的抽样

计算

∫−∞+∞(et+1)δ(t+1) dt.\int_{-\infty}^{+\infty}(e^t+1)\delta(t+1)\,dt.
  • A. e−1e-1
  • B. e+1e+1
  • C. e−1−1e^{-1}-1
  • D. e−1+1e^{-1}+1
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答案：D。δ(t+1)\delta(t+1) 在 t=−1t=-1 处抽样，因此结果为 e−1+1e^{-1}+1。

4. 正弦调制

若 f(t)↔F(jω)f(t)\leftrightarrow F(j\omega)，则 f(t)sin⁡(ω0t)f(t)\sin(\omega_0t) 的傅里叶变换是：

  • A. 12{F[j(ω+ω0)]+F[j(ω−ω0)]}\dfrac12\{F[j(\omega+\omega_0)]+F[j(\omega-\omega_0)]\}
  • B. 12{F[j(ω+ω0)]−F[j(ω−ω0)]}\dfrac12\{F[j(\omega+\omega_0)]-F[j(\omega-\omega_0)]\}
  • C. j2{F[j(ω+ω0)]−F[j(ω−ω0)]}\dfrac j2\{F[j(\omega+\omega_0)]-F[j(\omega-\omega_0)]\}
  • D. j2{F[j(ω+ω0)]+F[j(ω−ω0)]}\dfrac j2\{F[j(\omega+\omega_0)]+F[j(\omega-\omega_0)]\}
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答案：C。由

sin⁡ω0t=ejω0t−e−jω0t2j,\sin\omega_0t=\frac{e^{j\omega_0t}-e^{-j\omega_0t}}{2j},

可得

F{f(t)sin⁡ω0t}=j2[F(j(ω+ω0))−F(j(ω−ω0))].\mathcal F\{f(t)\sin\omega_0t\} =\frac j2\left[F\bigl(j(\omega+\omega_0)\bigr)-F\bigl(j(\omega-\omega_0)\bigr)\right].

5. 离散非周期信号的频谱

离散非周期信号的频谱具有：

  • A. 连续性、周期性
  • B. 连续性、非周期性
  • C. 离散性、周期性
  • D. 离散性、非周期性
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答案：A。离散时间非周期信号的 DTFT 对 ω\omega 连续，并以 2π2\pi 为周期。

6. 离散反馈系统的稳定范围

离散反馈系统

H(z)=zz−3(2−k)H(z)=\frac{z}{z-3(2-k)}

稳定时，kk 应满足：

  • A. k>5/3k>5/3
  • B. k<7/3k<7/3
  • C. 5/3<k<7/35/3<k<7/3
  • D. −∞<k<+∞-\infty<k<+\infty
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答案：C。唯一极点是 z=6−3kz=6-3k，稳定要求它在单位圆内：

∣6−3k∣<1⟹53<k<73.|6-3k|<1 \quad\Longrightarrow\quad \frac53<k<\frac73.

7. 尺度变换与时移

若 f(t)↔F(ω)f(t)\leftrightarrow F(\omega)，则 g(t)=f(2t−3)g(t)=f(2t-3) 的傅里叶变换是：

  • A. 12F(ω)e−j3ω/2\dfrac12F(\omega)e^{-j3\omega/2}
  • B. 12F(ω/2)e−j3ω/2\dfrac12F(\omega/2)e^{-j3\omega/2}
  • C. 12F(ω)e−j3ω\dfrac12F(\omega)e^{-j3\omega}
  • D. 12F(ω/2)e−j3ω\dfrac12F(\omega/2)e^{-j3\omega}
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答案：B。把 2t−32t-3 写成 2(t−3/2)2(t-3/2)，先压缩再右移：

G(ω)=12F(ω2)e−j3ω/2.G(\omega)=\frac12F\left(\frac\omega2\right)e^{-j3\omega/2}.

8. 拉普拉斯变换的尺度与复频移位

若 f(t)↔F(s)f(t)\leftrightarrow F(s)，则 g(t)=e−t/af(at)g(t)=e^{-t/a}f(at)（a>0a>0）的拉普拉斯变换是：

  • A. 1aF(sa+1a2)\dfrac1aF\left(\dfrac sa+\dfrac1{a^2}\right)
  • B. 1aF(sa2+1a2)\dfrac1aF\left(\dfrac{s}{a^2}+\dfrac1{a^2}\right)
  • C. aF(as+a2)aF(as+a^2)
  • D. aF(a2s+a2)aF(a^2s+a^2)
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答案：A。时间尺度给出 L{f(at)}=F(s/a)/a\mathcal L\{f(at)\}=F(s/a)/a；再乘 e−t/ae^{-t/a}，就是把其中的 ss 换成 s+1/as+1/a：

G(s)=1aF(sa+1a2).G(s)=\frac1aF\left(\frac{s}{a}+\frac1{a^2}\right).

9. 傅里叶变换与图像处理

下列说法中不正确的是：

  • A. 图像去噪可通过低通滤波器滤除高频噪声
  • B. 图像增强可通过加强低频分量增强原始图像边缘
  • C. 直流分量表示图像的平均灰度
  • D. 相位决定了图像灰度的位置信息
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答案：B。边缘和细节对应图像中的快速变化，主要落在高频；增强低频会突出缓慢变化的主体，而不是增强边缘。

10. 数字滤波器

下面关于数字滤波器的说法中错误的是：

  • A. 数字滤波器的频率响应都以 2π2\pi 为周期
  • B. IIR 滤波器设计方法包括窗函数法、频率采样法等
  • C. 若要求 FIR 滤波器具有线性相位，则 h(n)h(n) 必须满足奇对称或偶对称条件
  • D. IIR 滤波器有极点和零点，可借用模拟滤波器设计方法进行设计
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答案：B。窗函数法和频率采样法是典型的 FIR 设计方法；IIR 常由模拟原型经冲激响应不变法或双线性变换等方法得到。

二、填空题（每空 2 分，共 20 分）

1. 函数集的正交性

函数集 {1,t,t2,t3}\{1,t,t^2,t^3\} 在 (0,1)(0,1) 上是____（正交/非正交）的。

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答案：非正交。例如

∫011⋅t dt=12≠0,\int_0^1 1\cdot t\,dt=\frac12\ne0,

已有一对函数内积不为零。

2. 人类视觉系统的频率敏感度

人类视觉系统对____（低频/高频）信号的敏感程度更低。

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答案：高频。视觉系统整体上对缓慢变化的低频结构更敏感，对很细的高频变化相对不敏感。

3. 离散 LTI 系统的渐近稳定性

离散时间 LTI 系统渐近稳定时，系统函数的极点都应位于 z 平面的____。

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答案：单位圆内。因果有理系统的自然模态只有在全部极点满足 ∣pi∣<1|p_i|<1 时才会随 nn 衰减。

4. 有限长序列的线性卷积长度

长度分别为 4 和 6 的两个有限长序列作线性卷积，结果长度为____。

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答案：9。有限长线性卷积长度为 L1+L2−1=4+6−1L_1+L_2-1=4+6-1。

5. 自由响应与受迫响应

若全响应为

r(t)=(4e−t−3e−2t)u(t),r(t)=(4e^{-t}-3e^{-2t})u(t),

则自由响应为____，受迫响应为____。

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仅凭题面给出的全响应，无法唯一拆出自由响应和受迫响应：还需要知道系统的固有模态，或者输入信号的形式。

若另有条件说明系统固有极点为 −2-2、输入含 e−tu(t)e^{-t}u(t)，才可写成

rf(t)=−3e−2tu(t),rp(t)=4e−tu(t).r_{\mathrm f}(t)=-3e^{-2t}u(t),\qquad r_{\mathrm p}(t)=4e^{-t}u(t).

现存试卷没有给出这项条件，因此不能把上面的条件化结果当作唯一答案。

6. 拉普拉斯变换初值定理

已知

X(s)=s2+2s+1(s+1)(s+2)(s+3),X(s)=\frac{s^2+2s+1}{(s+1)(s+2)(s+3)},

原信号的初值为____。

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答案：1。由初值定理

x(0+)=lim⁡s→∞sX(s)=1.x(0^+)=\lim_{s\to\infty}sX(s)=1.

7. 由微分方程求系统函数

系统方程为 r′′(t)+3r′(t)+r(t)=2e(t)r''(t)+3r'(t)+r(t)=2e(t)，系统函数为____。

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答案：

H(s)=R(s)E(s)=2s2+3s+1.H(s)=\frac{R(s)}{E(s)}=\frac{2}{s^2+3s+1}.

系统函数按零初始条件定义，变换微分方程后直接取输出与输入之比。

8. 离散系统的稳定性

离散系统特征方程 D(z)=z2−0.75z+0.125D(z)=z^2-0.75z+0.125，则系统是____（稳定/不稳定）的。

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答案：稳定。因为

D(z)=(z−0.5)(z−0.25),D(z)=(z-0.5)(z-0.25),

两个极点都在单位圆内。

9. 由 z 变换收敛域判断序列方向

对

X(z)=−3z−12−5z−1+2z−2,X(z)=\frac{-3z^{-1}}{2-5z^{-1}+2z^{-2}},

若收敛域为 ∣z∣<0.5|z|<0.5，则对应____（左边序列/右边序列/双边序列）。

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答案：左边序列。分母的两个极点为 0.50.5 与 22；收敛域在最内层极点以内，意味着各分量都取左边序列。

三、第 1 题：傅里叶变换（8 分）

已知 F[f(t)]=F(ω)\mathcal F[f(t)]=F(\omega)，求：

  1. f(2t+1)f(2t+1)；
  2. tdf(t)dtt\dfrac{df(t)}{dt}。
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第一小题把 2t+12t+1 写成 2(t+1/2)2(t+1/2)：

F{f(2t+1)}=12F(ω2)ejω/2.\mathcal F\{f(2t+1)\} =\frac12F\left(\frac\omega2\right)e^{j\omega/2}.

第二小题先用时域微分，再用时域乘 tt 对应频域求导：

F{tdfdt}=jddω[jωF(ω)]=−F(ω)−ωF′(ω).\mathcal F\left\{t\frac{df}{dt}\right\} =j\frac{d}{d\omega}[j\omega F(\omega)] =-F(\omega)-\omega F'(\omega).

四、第 2 题：离散系统的零极点（10 分）

某离散 LTI 因果系统有两个零点 0,−40,-4，两个极点 −1,−7-1,-7，且 H(∞)=2H(\infty)=2。求系统函数、差分方程和单位样值响应。

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由零极点直接写出

H(z)=2z(z+4)(z+1)(z+7)=2+8z−11+8z−1+7z−2.H(z)=\frac{2z(z+4)}{(z+1)(z+7)} =\frac{2+8z^{-1}}{1+8z^{-1}+7z^{-2}}.

因此差分方程为

y[n]+8y[n−1]+7y[n−2]=2x[n]+8x[n−1].y[n]+8y[n-1]+7y[n-2]=2x[n]+8x[n-1].

部分分式为

H(z)=zz+1+zz+7.H(z)=\frac{z}{z+1}+\frac{z}{z+7}.

因系统因果，收敛域在最外极点之外，故

h[n]=[(−1)n+(−7)n]u[n].h[n]=\bigl[(-1)^n+(-7)^n\bigr]u[n].

五、第 3 题：反馈系统稳定性（12 分）

已知

H(s)=Kss2+(4−K)s+4.H(s)=\frac{Ks}{s^2+(4-K)s+4}.
  1. K=4K=4 时判断稳定性并求 h(t)h(t)；
  2. K=−1K=-1 时判断稳定性并求 h(t)h(t)；
  3. K=−1K=-1、输入 x(t)=u(t)x(t)=u(t) 时，求零状态响应。
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当 K=4K=4 时，

H(s)=4ss2+4,h(t)=4cos⁡(2t)u(t).H(s)=\frac{4s}{s^2+4},\qquad h(t)=4\cos(2t)u(t).

极点在 ±j2\pm j2，冲激响应不绝对可积，所以系统不是 BIBO 稳定系统；若课程采用“临界稳定”分类，它处于临界稳定状态。

当 K=−1K=-1 时，

H(s)=−s(s+1)(s+4)=1/3s+1−4/3s+4,H(s)=\frac{-s}{(s+1)(s+4)} =\frac{1/3}{s+1}-\frac{4/3}{s+4},

两极点都在左半平面，系统稳定，并且

h(t)=(13e−t−43e−4t)u(t).h(t)=\left(\frac13e^{-t}-\frac43e^{-4t}\right)u(t).

阶跃输入时

Y(s)=H(s)s=−1(s+1)(s+4),Y(s)=\frac{H(s)}s=-\frac1{(s+1)(s+4)},

所以

y(t)=13(e−4t−e−t)u(t).y(t)=\frac13(e^{-4t}-e^{-t})u(t).

六、第 4 题：零输入与零状态响应（12 分）

连续系统满足

r′′(t)+4r′(t)+3r(t)=2e(t),r''(t)+4r'(t)+3r(t)=2e(t),

输入 e(t)=u(t)e(t)=u(t)，初始状态 r(0−)=2r(0^-)=2、r′(0−)=0r'(0^-)=0。求零输入响应、零状态响应和全响应。

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零输入响应满足齐次方程，设

rzi(t)=Ae−t+Be−3t.r_{zi}(t)=Ae^{-t}+Be^{-3t}.

代入 A+B=2A+B=2、−A−3B=0-A-3B=0，得

rzi(t)=(3e−t−e−3t)u(t).r_{zi}(t)=(3e^{-t}-e^{-3t})u(t).

零状态传递关系为

Rzs(s)=2s(s+1)(s+3)=2/3s−1s+1+1/3s+3,R_{zs}(s)=\frac{2}{s(s+1)(s+3)} =\frac{2/3}{s}-\frac1{s+1}+\frac{1/3}{s+3},

故

rzs(t)=(23−e−t+13e−3t)u(t).r_{zs}(t)=\left(\frac23-e^{-t}+\frac13e^{-3t}\right)u(t).

两者相加：

r(t)=(23+2e−t−23e−3t)u(t).r(t)=\left(\frac23+2e^{-t}-\frac23e^{-3t}\right)u(t).

七、第 5 题：卷积（10 分）

  1. 设

    x[n]=δ[n]+2δ[n−1]−δ[n−3],x[n]=\delta[n]+2\delta[n-1]-\delta[n-3], h[n]=2δ[n+1]+2δ[n−1],h[n]=2\delta[n+1]+2\delta[n-1],

    求 x[n]∗h[n]x[n]*h[n]。

  2. f1(t)f_1(t) 是区间 [0,1][0,1] 上高度为 1 的矩形脉冲，f2(t)f_2(t) 是区间 [−3,−1][-3,-1] 上高度为 2 的矩形脉冲。求二者卷积并画出大致图像。

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冲激移位逐项相加得

x∗h=2δ[n+1]+4δ[n]+2δ[n−1]+2δ[n−2]−2δ[n−4].x*h=2\delta[n+1]+4\delta[n]+2\delta[n-1] +2\delta[n-2]-2\delta[n-4].

连续卷积等于“重叠长度乘以高度 2”。令 y=f1∗f2y=f_1*f_2，则

y(t)={2(t+3),−3≤t<−2,2,−2≤t<−1,−2t,−1≤t≤0,0,其他.y(t)= \begin{cases} 2(t+3),&-3\le t<-2,\\ 2,&-2\le t<-1,\\ -2t,&-1\le t\le0,\\ 0,&\text{其他}. \end{cases}

图像是在 [−3,−2][-3,-2] 从 0 线性升到 2，在 [−2,−1][-2,-1] 保持 2，再在 [−1,0][-1,0] 线性降到 0 的梯形。

八、第 6 题：傅里叶与拉普拉斯的关系（8 分）

简述连续傅里叶变换和拉普拉斯变换的物理意义及二者关系。

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  • 傅里叶变换把信号分解为不同角频率的复指数，X(jω)X(j\omega) 给出各频率分量的幅度与相位；对 LTI 系统，它把卷积变成频域乘法。

  • 拉普拉斯变换使用 est=eσtejωte^{st}=e^{\sigma t}e^{j\omega t} 作为基函数，在振荡之外加入指数增长或衰减，因而能处理更多不满足傅里叶绝对可积条件的信号，也能把带初值的微分方程化成代数方程。

  • 双边拉普拉斯变换

    X(s)=∫−∞∞x(t)e−st dtX(s)=\int_{-\infty}^{\infty}x(t)e^{-st}\,dt

    在收敛域包含虚轴时，令 s=jωs=j\omega 就得到傅里叶变换。也就是说，傅里叶变换是拉普拉斯变换沿虚轴的一条截面；是否能取这条截面，要看收敛域。

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