第三次作业 · 函数

#作业

源文件保留了本次作业的 4 道题及我当时的手写作答。下面先按原题整理题面，再把我的作答誊清到折叠块中。

第 2 题

试问下列关系中哪个能构成函数：

  1. {(x1,x2)∣x1,x2∈N,x1+x2<10}\{(x_1,x_2)\mid x_1,x_2\in\mathbb N, x_1+x_2<10\}；
  2. {(x,y)∣x,y∈R,y=x2}\{(x,y)\mid x,y\in\mathbb R, y=x^2\}；
  3. {(x,y)∣x,y∈R,y2=x}\{(x,y)\mid x,y\in\mathbb R, y^2=x\}。
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只有第 2 个关系能构成从 R\mathbb R 到 R\mathbb R 的函数。

  • 第 1 个关系中，同一个 x1x_1 可以对应多个 x2x_2，而 x1≥10x_1\geq10 时又没有满足条件的输出；
  • 第 2 个关系中，每个实数 xx 都唯一对应 y=x2y=x^2；
  • 第 3 个关系中，x>0x>0 时通常对应 y=±xy=\pm\sqrt x 两个值，x<0x<0 时没有实数输出。

第 5 题

设 f,gf,g 都是函数，证明 f∩gf\cap g 是函数。

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把函数视为有序偶的集合。若 x∈dom⁡(f∩g)x\in\operatorname{dom}(f\cap g)，则至少存在一个 yy 使 (x,y)∈f∩g(x,y)\in f\cap g。

若同时有 (x,y1),(x,y2)∈f∩g(x,y_1),(x,y_2)\in f\cap g，那么二者都属于函数 ff。由 ff 的单值性，y1=y2y_1=y_2。因此 f∩gf\cap g 在自己的定义域上对每个输入恰有一个输出，是函数。

注意：它的定义域只包含 f(x)=g(x)f(x)=g(x) 的输入，不一定等于 ff 或 gg 原来的整个定义域。

第 8 题

设 f,g,hf,g,h 是从 N\mathbb N 到 N\mathbb N 的函数：

f(n)=n+1,g(n)=2n,h(n)={0,n 是偶数,1,n 是奇数.f(n)=n+1,\qquad g(n)=2n,\qquad h(n)= \begin{cases} 0,&n\text{ 是偶数},\\ 1,&n\text{ 是奇数}. \end{cases}

试确定 f∘ff\circ f、f∘gf\circ g、g∘hg\circ h、h∘gh\circ g 及 (f∘g)∘h(f\circ g)\circ h。

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按 (f∘g)(n)=f(g(n))(f\circ g)(n)=f(g(n)) 计算：

(f∘f)(n)=n+2,(f∘g)(n)=2n+1.(f\circ f)(n)=n+2,\qquad(f\circ g)(n)=2n+1. (g∘h)(n)={0,n 是偶数,2,n 是奇数,(g\circ h)(n)= \begin{cases} 0,&n\text{ 是偶数},\\ 2,&n\text{ 是奇数}, \end{cases}

因为 g(n)=2ng(n)=2n 永远是偶数：

(h∘g)(n)=0.(h\circ g)(n)=0.

最后：

((f∘g)∘h)(n)={1,n 是偶数,3,n 是奇数.((f\circ g)\circ h)(n)= \begin{cases} 1,&n\text{ 是偶数},\\ 3,&n\text{ 是奇数}. \end{cases}

第 10 题

设 ff 是从 AA 到 AA 的函数，证明：对任意 m,n∈Nm,n\in\mathbb N，都有：

fm∘fn=fm+n.f^m\circ f^n=f^{m+n}.
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对任意 x∈Ax\in A：

(fm∘fn)(x)=fm(fn(x)).(f^m\circ f^n)(x)=f^m(f^n(x)).

fnf^n 表示连续应用 nn 次 ff，外面再应用 mm 次，一共应用 m+nm+n 次，所以：

fm(fn(x))=fm+n(x).f^m(f^n(x))=f^{m+n}(x).

两个函数在任意输入上的值都相同，故 fm∘fn=fm+nf^m\circ f^n=f^{m+n}。

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