第 4 讲 · 自然数与基数

这一讲做了两件事：先说明自然数怎样从公理或集合构造出来，再把有限计数推广到无穷集合。

Peano 公理抓住自然数的骨架

自然数系统包含 $0$ 和后继运算 $S$。核心要求包括：$0$ 是自然数，$0$ 不是任何自然数的后继，不同自然数的后继不同，以及包含 $0$ 且对后继封闭的自然数子集只能是整个 $\mathbb N$。

最后一条就是数学归纳法的基础。证明命题 $P(n)$ 时：

1. 验证起点 $P(0)$；
2. 假设 $P(k)$ 成立，推出 $P(k+1)$；
3. 具有性质 $P$ 的自然数集合包含 $0$ 且对后继封闭，因此等于 $\mathbb N$。

强归纳法允许在证明 $P(k+1)$ 时使用所有更小情形，它建立在自然数良序性上。

冯·诺依曼构造让“数”成为集合

定义集合的后继为 $S(X)=X\cup\{X\}$，从空集开始：

$$0=\varnothing,\quad 1=\{0\},\quad 2=\{0,1\},\quad 3=\{0,1,2\}.$$

于是每个自然数 $n$ 恰好是所有小于它的自然数组成的集合，$m<n$ 可以写成 $m\in n$。这让自然数的顺序、传递性和三歧性都能在集合框架中讨论。

双射把“个数相同”推广到无穷集合

若存在双射 $f:A\to B$，称 $A$ 与 $B$ 等势。无穷集合可以和真子集等势，例如 $n\mapsto 2n$ 给出自然数与偶数集的双射。

能与 $\mathbb N$ 双射的集合称为可数无穷集；有限集与可数无穷集合称为可数集。有理数虽然在数轴上稠密，仍可以按分子、分母的对角线顺序枚举并去重，因此可数。

可数集合的有限并仍可数。证明时可以把各集合的枚举交错排列，并跳过已经出现的元素。

对角线法证明实数不可数

假设区间 $(0,1)$ 的实数能排成序列。构造一个新小数，让它的第 $n$ 位与第 $n$ 个数的第 $n$ 位不同；新数就与列表中每个数至少有一位不同，因此不在列表里，矛盾。

关键不是小数写法本身，而是“针对列表第 $n$ 项，在第 $n$ 个位置逃开”。这就是对角构造的通用模式。

幂集永远比原集合大

从 $X$ 到 $\mathcal P(X)$ 显然有单射 $x\mapsto\{x\}$。若假设存在满射 $f:X\to\mathcal P(X)$，构造：

$$B=\{x\in X\mid x\notin f(x)\}.$$

若 $f(b)=B$，那么 $b\in B\iff b\notin B$，矛盾。因此没有满射，更不可能双射：

$$|X|<|\mathcal P(X)|.$$

$|\mathbb N|$ 记为 $\aleph_0$，实数连续统的基数等于 $2^{\aleph_0}$。连续统假设询问二者之间是否存在别的基数；课件强调，在常用集合论公理中它既不能被证明，也不能被否证。