第 10 讲：参数曲线、Bezier 曲线与曲面

曲线用于字体、动画轨迹和造型轮廓，曲面用于汽车、船体和自由形状建模。课件的主线是：先学会用参数在两个点间移动，再把“点和导数约束”变成一条光滑曲线。

1. 三种描述方式

二维曲线可以是显式形式 $y=f(x)$、隐式形式 $g(x,y)=0$，也可以写成参数形式

$$\mathbf p(t)=(x(t),y(t),z(t)).$$

参数形式不要求每个 $x$ 只有一个 $y$，能自然描述闭环、空间曲线和运动轨迹，因此是这讲的重点。同一条空间曲线可有不同参数化；参数还决定物体沿曲线运动的速度。

2. 从线性插值到三次 Hermite

两点间线性插值为

$$\mathbf p(t)=(1-t)\mathbf p_0+t\mathbf p_1, \qquad 0\le t\le1.$$

分段常量会在值上跳变，分段线性虽然位置连续，导数却在折点跳变。若希望同时控制端点位置与端点切线，最低需要四个系数，因此选择三次多项式。

三次 Hermite 曲线由 $\mathbf p_0,\mathbf p_1$ 和两端切向量 $\mathbf m_0,\mathbf m_1$ 决定：

$$\mathbf p(t)= h_{00}(t)\mathbf p_0+ h_{10}(t)\mathbf m_0+ h_{01}(t)\mathbf p_1+ h_{11}(t)\mathbf m_1,$$

其中

$$\begin{aligned} h_{00}&=2t^3-3t^2+1,\\ h_{10}&=t^3-2t^2+t,\\ h_{01}&=-2t^3+3t^2,\\ h_{11}&=t^3-t^2. \end{aligned}$$

$3t^2-2t^3$ 这类 ease function 在端点速度为零，常用于动画柔和起停。

3. Catmull–Rom：只给点也能估切线

Hermite 需要手动给切向量。Catmull–Rom 用相邻控制点估计中间段端点切线，例如均匀参数化下

$$\mathbf m_i=\frac12(\mathbf p_{i+1}-\mathbf p_{i-1}).$$

这样生成的曲线插值所有控制点，并通常达到 $C^1$ 连续。代价是某一段还依赖左右邻点，控制点分布很不均匀时可能过冲；实际系统可改用弦长或向心参数化。

4. Bezier 曲线

三次 Hermite 的切线也可改写成两个额外控制点：

$$\mathbf m_0=3(\mathbf P_1-\mathbf P_0), \qquad \mathbf m_1=3(\mathbf P_3-\mathbf P_2).$$

得到三次 Bezier：

$$\mathbf B(t)= (1-t)^3\mathbf P_0+ 3(1-t)^2t\mathbf P_1+ 3(1-t)t^2\mathbf P_2+ t^3\mathbf P_3.$$

一般 $n$ 次形式为

$$\mathbf B(t)= \sum_{i=0}^n \binom ni (1-t)^{n-i}t^i\mathbf P_i.$$

这些 Bernstein 基函数非负且和为 $1$，因此曲线位于控制点凸包内。

5. de Casteljau 算法

de Casteljau 不直接展开多项式，而是反复做线性插值：

$$\mathbf P_i^{(r)} =(1-t)\mathbf P_i^{(r-1)} +t\mathbf P_{i+1}^{(r-1)}.$$

直到只剩一个点 $\mathbf P_0^{(n)}=\mathbf B(t)$。它几何直观、数值稳定，还能在任意 $t$ 处把一条 Bezier 精确拆成两段。

Bezier 曲线的常用性质：

• 插值首尾控制点。
• 首尾切线分别沿 $\mathbf P_1-\mathbf P_0$ 与 $\mathbf P_n-\mathbf P_{n-1}$。
• 位于控制点凸包内。
• 仿射不变：先变换控制点再求曲线，等于先求曲线再做仿射变换。

高次曲线控制会变得全局而不稳定，工程中更常拼接多段低次、尤其是三次 Bezier。

6. 拼接连续性

两段曲线端点相同是 $C^0$ 连续，位置不会断开。若一阶导数也相同，则为 $C^1$，速度方向和大小都连续。对相邻三次 Bezier，若

$$\mathbf P_3=\mathbf Q_0, \qquad \mathbf P_3-\mathbf P_2 =\mathbf Q_1-\mathbf Q_0,$$

就满足参数意义下的一阶连续。若只要求两边切线共线、允许速度大小不同，则是几何连续 $G^1$。

7. 从曲线到参数曲面

参数曲面由两个参数给出：

$$\mathbf S(u,v) = \bigl(x(u,v),y(u,v),z(u,v)\bigr).$$

两个切方向是 $\partial\mathbf S/\partial u$ 与 $\partial\mathbf S/\partial v$，法线为

$$\mathbf n= \frac{ \mathbf S_u\times\mathbf S_v }{ \|\mathbf S_u\times\mathbf S_v\| }.$$

双三次 Bezier patch 使用 $4\times4$ 控制点网格：

$$\mathbf S(u,v)= \sum_{i=0}^3\sum_{j=0}^3 B_i^3(u)B_j^3(v)\mathbf P_{ij}.$$

可以先固定 $v$，沿 $u$ 做四条 de Casteljau，再沿 $v$ 合成；也可以直接用矩阵形式计算。曲面只插值四个角控制点，其余控制点塑造边界切线和内部弯曲。

复杂模型由多个 patch 拼接。$C^0$ 要求边界控制点重合，$C^1$ 还要求边界两侧控制点差给出一致的一阶导数。Utah Teapot 正是多个双三次 Bezier patch 组成的经典例子。