第 3 讲 · 随机变量与分布函数

事件语言适合表达“发生没有”，随机变量则把结果变成数。这样，概率问题就能转化成函数、求和和积分问题。

1. 随机变量是一张从结果到数的表

随机变量 X=X(ω)X=X(\omega) 是定义在样本空间上的实值函数。它的随机性来自输入 ω\omega，函数规则本身是确定的。

例如抛两枚硬币，XX 可以表示正面数，YY 可以表示两枚是否相同。它们定义在同一个样本空间上，但概括试验结果的方式不同。

对任意实数 a<ba<b，

{a<X≤b}={ω:a<X(ω)≤b}\{a<X\le b\}=\{\omega:a<X(\omega)\le b\}

是一个事件，所以可以谈它的概率。

2. 分布函数是所有随机变量的共同描述

定义

FX(x)=P(X≤x).F_X(x)=P(X\le x).

它具有三个基本性质：

  1. 单调不减；
  2. 右连续；
  3. FX(−∞)=0F_X(-\infty)=0，FX(+∞)=1F_X(+\infty)=1。

反过来，任何满足这三点的函数都可以作为某个随机变量的分布函数。

区间概率由 CDF 的差给出，但端点要看清：

P(a<X≤b)=FX(b)−FX(a).P(a<X\le b)=F_X(b)-F_X(a).

若要 P(a≤X≤b)P(a\le X\le b)，离散型还需把 P(X=a)P(X=a) 加回来。统一写法是

P(a≤X≤b)=FX(b)−FX(a−),P(a\le X\le b)=F_X(b)-F_X(a-),

其中 FX(a−)F_X(a-) 是左极限。

3. 离散随机变量

若 XX 只取有限或可列多个值 x1,x2,…x_1,x_2,\ldots，它是离散随机变量。分布列或概率质量函数为

pk=P(X=xk),p_k=P(X=x_k),

并满足

pk≥0,∑kpk=1.p_k\ge0, \qquad \sum_kp_k=1.

CDF 是阶梯函数：

FX(x)=∑xk≤xpk.F_X(x)=\sum_{x_k\le x}p_k.

跳跃大小正好是单点概率：

P(X=x)=FX(x)−FX(x−).P(X=x)=F_X(x)-F_X(x-).

例：由分布列写 CDF

设 XX 取 −1,0,2-1,0,2，概率分别为 0.2,0.5,0.30.2,0.5,0.3。则

FX(x)={0,x<−1,0.2,−1≤x<0,0.7,0≤x<2,1,x≥2.F_X(x)= \begin{cases} 0,&x<-1,\\ 0.2,&-1\le x<0,\\ 0.7,&0\le x<2,\\ 1,&x\ge2. \end{cases}

每个取值都对应一次向上的跳跃。

退化分布是最简单的离散分布：若 P(X=c)=1P(X=c)=1，CDF 在 cc 处从 00 跳到 11。

4. 连续随机变量

若存在非负可积函数 fXf_X，使

FX(x)=∫−∞xfX(t) dt,F_X(x)=\int_{-\infty}^{x}f_X(t)\,dt,

则称 XX 为连续随机变量，fXf_X 是密度。密度必须满足

fX(x)≥0,∫−∞∞fX(x) dx=1.f_X(x)\ge0, \qquad \int_{-\infty}^{\infty}f_X(x)\,dx=1.

概率是密度曲线下的面积：

P(a<X≤b)=∫abfX(x) dx.P(a<X\le b)=\int_a^b f_X(x)\,dx.

在 CDF 可导处，fX(x)=FX′(x)f_X(x)=F'_X(x)。

密度不是单点概率

连续变量满足

P(X=x)=0.P(X=x)=0.

因此 P(a<X<b)P(a<X<b)、P(a≤X<b)P(a\le X<b) 和 P(a≤X≤b)P(a\le X\le b) 相同。密度 fX(x)f_X(x) 是单位长度附近的概率强度，可以大于 11；只有面积才是概率。

例：归一化后求概率

设

fX(x)={ke−3x,x>0,0,x≤0.f_X(x)= \begin{cases} ke^{-3x},&x>0,\\ 0,&x\le0. \end{cases}

由归一化

1=∫0∞ke−3x dx=k3,1=\int_0^\infty ke^{-3x}\,dx=\frac{k}{3},

得 k=3k=3。于是

FX(x)={0,x≤0,1−e−3x,x>0.F_X(x)= \begin{cases} 0,&x\le0,\\ 1-e^{-3x},&x>0. \end{cases}

例如 P(X>1)=e−3P(X>1)=e^{-3}。

5. 混合分布

不是所有分布都纯离散或纯连续。例如设备有 20%20\% 的概率到时刻 00 已失效，其余寿命服从连续分布。CDF 会同时包含跳跃和连续增长部分。

一般分布可分解成离散、绝对连续和更一般的奇异部分。初等课程主要遇到前两者的混合。处理它时不要强行写一个普通密度；跳跃处的概率必须单独保留。

6. 同分布不等于同一个变量

若 X,YX,Y 的 CDF 相同，就称同分布，记作 X=dYX\overset d=Y。这只说明它们各自的概率规律相同，不说明 X=YX=Y，也不说明二者独立。

若密度关于原点对称：fX(−x)=fX(x)f_X(-x)=f_X(x)，则

FX(−x)=1−FX(x),F_X(-x)=1-F_X(x),

在连续场合等价写作 FX(x)+FX(−x)=1F_X(x)+F_X(-x)=1。对含原点质量的离散分布则要注意左极限，不能直接照搬连续公式。

7. 从题目给法选择入口

  • 给 pmf：检查各项非负、总和为 11，累加得到 CDF。
  • 给 CDF：检查单调、右连续和两端极限；跳跃给离散质量，可导段求密度。
  • 给密度：先归一化求参数，再积分求 CDF 或区间概率。
  • 给混合 CDF：把跳跃质量和连续密度分别处理。

8. 这一讲的检查清单

  • CDF 固定是 P(X≤x)P(X\le x)，不是 P(X<x)P(X<x)。
  • 离散 CDF 的跳跃大小就是单点概率。
  • 连续变量单点概率为零，密度值本身不是概率。
  • 求密度常数先写支持集，再做全区间积分。
  • 混合分布的跳跃不能被普通密度表示。
  • “同分布”只比较边际规律，不给出二者之间的关系。

评论