第 1 讲 · 随机事件、概率与计数

概率论不是从公式开始，而是从一个判断开始：同样的条件下，结果能不能在试验前确定。太阳从东方升起属于确定性现象；抛硬币、测寿命、统计排队人数都属于随机现象。单次结果不可预知，但大量重复后会显出稳定规律，这就是概率模型要描述的对象。

1. 随机试验、样本空间与事件

一个随机试验通常满足三点：条件可以重复；所有可能结果事先可列明；每次究竟出现哪个结果事先不知道。

所有基本结果组成样本空间 Ω\Omega，其中一个结果称为样本点 ω\omega。事件 AA 是 Ω\Omega 的子集：当实际样本点落入 AA，就说 AA 发生。

例如掷一枚骰子：

Ω={1,2,3,4,5,6},\Omega=\{1,2,3,4,5,6\},

“出现偶数”是 A={2,4,6}A=\{2,4,6\}，“点数大于 4”是 B={5,6}B=\{5,6\}。

事件关系与运算

  • A⊂BA\subset B：AA 发生必然导致 BB 发生。
  • A=BA=B：两事件包含相同样本点。
  • A∪BA\cup B：至少一个发生。
  • AB=A∩BAB=A\cap B：同时发生。
  • A−B=A∩BˉA-B=A\cap\bar B：AA 发生而 BB 不发生。
  • Aˉ=Ω−A\bar A=\Omega-A：AA 不发生。
  • AB=∅AB=\varnothing：二者互不相容，不能同时发生。

De Morgan 公式把“至少一个”和“全部”互换：

⋃iAi‾=⋂iAˉi,⋂iAi‾=⋃iAˉi.\overline{\bigcup_i A_i}=\bigcap_i\bar A_i, \qquad \overline{\bigcap_i A_i}=\bigcup_i\bar A_i.

做文字题时，把“至少一个不合格”写成“并事件”通常不如先写其补集“全部合格”简单。

2. 为什么还要事件域

当样本空间无限时，并非任意集合都适合作为事件。概率模型写作 (Ω,F,P)(\Omega,\mathcal F,P)：F\mathcal F 是允许赋予概率的事件族，满足

  1. Ω∈F\Omega\in\mathcal F；
  2. A∈FA\in\mathcal F 时 Aˉ∈F\bar A\in\mathcal F；
  3. A1,A2,…∈FA_1,A_2,\ldots\in\mathcal F 时 ⋃n=1∞An∈F\bigcup_{n=1}^{\infty}A_n\in\mathcal F。

这样的 F\mathcal F 称为 σ\sigma-代数。实数轴上由开区间生成的最小 σ\sigma-代数称为 Borel 事件域。初等计算很少直接构造它，但它保证“区间概率”“极限事件”这些操作有统一基础。

若 B1,…,BnB_1,\ldots,B_n 两两互不相容且并为 Ω\Omega，它们构成样本空间的一个划分。全概率公式正是沿这样的划分逐块计算。

3. 概率公理与立即可用的性质

概率 PP 满足：

  1. 非负性：P(A)≥0P(A)\ge0；
  2. 规范性：P(Ω)=1P(\Omega)=1；
  3. 可列可加性：若 AiA_i 两两互不相容，则
P(⋃i=1∞Ai)=∑i=1∞P(Ai).P\left(\bigcup_{i=1}^{\infty}A_i\right) =\sum_{i=1}^{\infty}P(A_i).

由公理可以推出：

P(∅)=0,P(Aˉ)=1−P(A),P(\varnothing)=0, \qquad P(\bar A)=1-P(A), A⊂B⟹P(A)≤P(B),A\subset B\Longrightarrow P(A)\le P(B), P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(AB).P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(AB).

三个事件的容斥公式是

P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)−P(AB)−P(AC)−P(BC)+P(ABC).\begin{aligned} P(A\cup B\cup C) ={}&P(A)+P(B)+P(C)\\ &-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC). \end{aligned}

符号规律是“单个加、两两交减、三重交再加”。更多事件继续交替。

一个完整例子：至少出现一次 6 点

公平骰子独立掷 4 次，直接按“第几次出现 6 点”拆分会重叠。补事件是 4 次都不出现 6 点，因此

P(至少一次 6 点)=1−(56)4=6711296.P(\text{至少一次 6 点}) =1-\left(\frac56\right)^4 =\frac{671}{1296}.

这也是“至少一次”题的通用模板。

4. 计数：先分清分类还是分步

古典概型的分子、分母都靠计数。课件里的两条原则容易被名字写反，正确判断方式如下。

  • 若完成任务有互斥的若干类途径，用加法：m1+⋯+mrm_1+\cdots+m_r。
  • 若完成任务必须依次完成若干步，用乘法：m1⋯mrm_1\cdots m_r。

常用计数式：

n!=n(n−1)⋯1,n!=n(n-1)\cdots1, Anr=n!(n−r)!,(nr)=n!r!(n−r)!.A_n^r=\frac{n!}{(n-r)!}, \qquad \binom nr=\frac{n!}{r!(n-r)!}.

允许重复且顺序重要时，从 nn 个元素取 rr 次共有 nrn^r 种；允许重复但不计顺序时共有

(n+r−1r)\binom{n+r-1}{r}

种。

5. 四种确定概率的方法

5.1 古典方法

若样本空间只有有限个等可能结果，

P(A)=A 中基本结果数Ω 中基本结果数.P(A)=\frac{A\text{ 中基本结果数}}{\Omega\text{ 中基本结果数}}.

例如 NN 件产品中有 MM 件不合格，不放回抽 nn 件，恰有 kk 件不合格的概率为

P(X=k)=(Mk)(N−Mn−k)(Nn).P(X=k)=\frac{\binom Mk\binom{N-M}{n-k}}{\binom Nn}.

若每次抽后放回，不合格次数则服从二项分布：

P(X=k)=(nk)(MN)k(1−MN)n−k.P(X=k)=\binom nk\left(\frac MN\right)^k \left(1-\frac MN\right)^{n-k}.

“放不放回”决定了试验是否独立，也决定了模型。

5.2 频率方法

重复 nn 次试验，事件 AA 出现 nAn_A 次，频率为

fn(A)=nAn.f_n(A)=\frac{n_A}{n}.

大量重复时频率围绕某个常数稳定，这个常数被解释为概率。第四章的 Bernoulli 大数定律会给出严格表述。

5.3 几何方法

若样本点在区域 Ω\Omega 内均匀落下，则

P(A)=A 的几何测度Ω 的几何测度,P(A)=\frac{A\text{ 的几何测度}}{\Omega\text{ 的几何测度}},

几何测度可以是长度、面积或体积。Buffon 投针把“针与平行线相交”的概率转成几何积分，并可用频率估计 π\pi。

Bertrand 弦悖论说明：即使都说“在圆内随机取一条弦”，选择两个圆周点、选择弦中点、选择弦到圆心的距离会给出不同概率。矛盾不在计算，而在“随机取弦”的机制没有定义完整。

5.4 主观方法

对不可重复或样本很少的事件，可以用基于信息的可信程度表达概率。它仍须满足概率公理，但数值来自信息、经验和判断，而不是等可能计数或长期频率。

6. 概率的连续性

若事件序列单调增加：

A1⊂A2⊂⋯ ,A=⋃n=1∞An,A_1\subset A_2\subset\cdots, \qquad A=\bigcup_{n=1}^{\infty}A_n,

则

P(An)⟶P(A).P(A_n)\longrightarrow P(A).

若事件序列单调减少：

A1⊃A2⊃⋯ ,A=⋂n=1∞An,A_1\supset A_2\supset\cdots, \qquad A=\bigcap_{n=1}^{\infty}A_n,

同样有 P(An)→P(A)P(A_n)\to P(A)。这个性质把有限事件运算延伸到极限，后面证明分布函数右连续、研究随机变量收敛时都会用到。

7. 这一讲的检查清单

  • 先写样本空间，再写事件，避免自然语言歧义。
  • “至少一个”优先取补；多个事件的并考虑容斥。
  • 等可能才能直接用“有利数除以总数”。
  • 不放回用组合数；放回且只数成功次数用二项模型。
  • 几何概率必须说明“均匀落在哪里”，否则模型可能不唯一。
  • 互不相容是交集为空，独立是概率乘法，二者不要混用。

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