2019—2020 学年第 2 学期期末真题

#真题

考试时间：2020 年 6 月 18 日 9:00—12:00。满分 100 分，共六道大题。原卷不含答案；下列解析依据课程材料补全。

一、证明题（15 分）

设有限群 GG 在集合 Ω\Omega 上的作用是传递的，N⊴GN\trianglelefteq G。证明：NN 在 Ω\Omega 上的所有轨道长度都相等。

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任取 x,y∈Ωx,y\in\Omega。作用传递，所以存在 g∈Gg\in G 使 y=g⋅xy=g\cdot x。定义

Φ:Nx→Ny,n⋅x↦(gng−1)⋅y.\Phi:Nx\to Ny,\qquad n\cdot x\mapsto(gng^{-1})\cdot y.

因为 NN 正规，gng−1∈Ngng^{-1}\in N。更直观地，gg 本身把轨道 NxNx 映到

g(Nx)=(gNg−1)(gx)=Ny.g(Nx)=(gNg^{-1})(gx)=N y.

gg 的作用是双射，所以两个轨道等势。x,yx,y 任意，全部 NN-轨道长度相等。

二、计算题（18 分）

用 3 种颜色的珠子制成由 6 颗珠子组成的手镯，可以制成多少种？

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使用二面体群 D6D_6 的 Burnside 计数：

36+2⋅3+2⋅32+33+3⋅34+3⋅3312=92.\frac{3^6+2\cdot3+2\cdot3^2+3^3+3\cdot3^4+3\cdot3^3}{12}=92.

答案为 92 种。

三、计算题（18 分）

求同余方程组的最小正整数解：

{x≡3(mod5),x≡2(mod7),x≡6(mod9),x≡7(mod13).\begin{cases} x\equiv3\pmod5,\\ x\equiv2\pmod7,\\ x\equiv6\pmod9,\\ x\equiv7\pmod{13}. \end{cases}
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四个模数两两互素，乘积为 40954095。逐步合并：前两式给出 x≡23(mod35)x\equiv23\pmod{35}；与模 9 条件合并得 x≡303(mod315)x\equiv303\pmod{315}；再与模 13 条件合并得

x≡618(mod4095).x\equiv618\pmod{4095}.

故最小正整数解为 618618。

四、证明题（18 分）

设 R=C[0,1]R=C[0,1] 是区间 [0,1][0,1] 上实值连续函数关于逐点加法与乘法构成的环。对 0≤c≤10\le c\le1，令

Ic={f∈R:f(c)=0}.I_c=\{f\in R:f(c)=0\}.

证明：

  1. IcI_c 是 RR 的极大理想；
  2. RR 的每个极大理想 MM 都等于某个 IcI_c。
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评价映射

ev⁡c:R→R,f↦f(c)\operatorname{ev}_c:R\to\mathbb R,\qquad f\mapsto f(c)

是满环同态，核为 IcI_c。因此 R/Ic≅RR/I_c\cong\mathbb R 是域，IcI_c 极大。

反过来设极大理想 MM 中的函数没有公共零点。则对每个 c∈[0,1]c\in[0,1]，可取 fc∈Mf_c\in M 使 fc(c)≠0f_c(c)\ne0。由连续性，fcf_c 在 cc 的某个邻域不为零；这些邻域覆盖紧集 [0,1][0,1]，可取有限子覆盖，对应 f1,…,fkf_1,\ldots,f_k。

于是

g=f12+⋯+fk2g=f_1^2+\cdots+f_k^2

处处严格为正，且 g∈Mg\in M。连续函数 1/g1/g 仍属于 RR，从而 1=g(1/g)∈M1=g(1/g)\in M，与 MM 为真理想矛盾。因此存在 cc 使所有 f∈Mf\in M 都满足 f(c)=0f(c)=0，即 M⊆IcM\subseteq I_c。二者都极大，所以 M=IcM=I_c。

五、求解题（15 分）

设 Q\mathbb Q 为有理数域。

  1. 若 α=1+23+43\alpha=1+\sqrt[3]2+\sqrt[3]4，在 Q(23)\mathbb Q(\sqrt[3]2) 中求 α−1\alpha^{-1}；
  2. 若 α\alpha 是 x2−5x+7x^2-5x+7 的根，把
β=1−7α+2α21+α−α2\beta=\frac{1-7\alpha+2\alpha^2}{1+\alpha-\alpha^2}

表示成 α\alpha 的最低次数有理系数多项式。

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令 t=23t=\sqrt[3]2，则

(t−1)(1+t+t2)=t3−1=1,(t-1)(1+t+t^2)=t^3-1=1,

所以 α−1=t−1=23−1\alpha^{-1}=t-1=\sqrt[3]2-1。

第二问由 α2=5α−7\alpha^2=5\alpha-7，分子化为 3α−133\alpha-13，分母化为 8−4α8-4\alpha。设结果为 pα+qp\alpha+q，比较

(pα+q)(8−4α)=3α−13(p\alpha+q)(8-4\alpha)=3\alpha-13

的系数，解得 p=−7/4,q=9/2p=-7/4,q=9/2。故

β=18−7α4.\beta=\frac{18-7\alpha}{4}.

六、解答题（16 分）

设 F7\mathbb F_7 是七元域，f(x)=x2+a∈F7[x]f(x)=x^2+a\in\mathbb F_7[x]。确定所有 a∈F7a\in\mathbb F_7，使

F7[x]/(f(x))\mathbb F_7[x]/(f(x))

是域，并在这些情形下计算 f(x)f(x) 的周期。

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商环是域，当且仅当 x2+ax^2+a 不可约，也就是 −a-a 不是模 7 的平方。模 7 的平方为 0,1,2,40,1,2,4，故

a∈{1,2,4}.a\in\{1,2,4\}.

令 α=x+(f)\alpha=x+(f)，则 α2=−a\alpha^2=-a，多项式周期就是 α\alpha 在 F49×\mathbb F_{49}^\times 中的阶。

  • a=1a=1：α2=−1\alpha^2=-1，所以周期为 4；
  • a=2a=2：α2=5\alpha^2=5，且 55 在 F7×\mathbb F_7^\times 中阶为 6、α6=−1\alpha^6=-1，所以周期为 12；
  • a=4a=4：α2=3\alpha^2=3，同理 33 的阶为 6、α6=−1\alpha^6=-1，周期为 12。

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