2021—2022 学年第 2 学期期末真题

考试时间：2022 年 6 月 23 日 13:20—15:20。满分 100 分，共六道大题。原卷不含答案；下列解析依据课程材料补全。

一、选择题（30 分，每题 5 分）

1. 哪些映射构成群

设 $n\ge2$，$M=\{1,2,\ldots,n\}$。下列从 $M$ 到自身的映射集合，关于映射复合构成群的是：

A. 所有映射；B. 所有满射；C. 所有奇置换；D. 所有对换。

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选 B。有限集合到自身的满射就是双射，全体双射构成 $S_n$。其他三个集合至少有一个问题：非双射没有逆；奇置换相乘变成偶置换；两个对换相乘通常不再是对换。

2. 哪个理想不是极大理想

在 $\mathbb R[x]$ 中判断：

A. $(x+1)$；B. $(x^2+x+1)$；C. $(x^2+3x+2)$； D. $(2x^2+3x+1,\ x^2+2x+1)$。

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选 C。$x^2+3x+2=(x+1)(x+2)$ 可约，所以生成的理想不极大。B 的判别式为 $-3$，在 $\mathbb R$ 上不可约。D 中两个生成元的最大公因式是 $x+1$，故该理想就是 $(x+1)$，也极大。

3. 两个实多项式商环

令

$$S=\mathbb R[x]/(x^2+1), \qquad T=\mathbb R[x]/(x^2+x+1).$$

下列断言正确的是：

A. $S$ 与 $\mathbb C$ 同构，$T$ 与 $\mathbb C$ 不同构； B. $T$ 与 $\mathbb C$ 同构，$S$ 与 $\mathbb C$ 不同构； C. $S$、$T$ 都与 $\mathbb C$ 不同构； D. $S$、$T$ 都与 $\mathbb C$ 同构。

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选 D：$S$、$T$ 都与 $\mathbb C$ 同构。两个模多项式在 $\mathbb R$ 上都是不可约二次式，商环均为 $\mathbb R$ 的二次代数扩张；实数域的二次代数扩张同构于复数域。

4. 有限域存在性

在 $n=32,33,34,35$ 中，哪个值对应一个 $n$ 元域？

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选 $32=2^5$。有限域的阶恰为素数幂。

5. 群元素的阶

设 $x,y,z\in G$。下列断言不正确的是：

A. $x$ 与 $yxy^{-1}$ 的阶相等； B. $xy$ 与 $yx$ 的阶相等； C. $xyz$ 与 $zyx$ 的阶相等； D. $x,y$ 都为有限阶元时，$xy$ 仍可能是无限阶元。

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选 C。共轭元素同阶，所以 A 正确；$yx=y(xy)y^{-1}$，所以 B 正确。两个有限阶元的积可能有无限阶，例如无限二面体群中两个反射的乘积是无限阶平移，所以 D 也正确。一般没有理由让 $xyz$ 与逆序的 $zyx$ 共轭。

6. $\mathbb Q(\sqrt2)$ 中有根的方程

下列方程在 $\mathbb Q(\sqrt2)$ 中有解的是：

A. $x^2-x-3=0$； B. $x^2+x-7+6\sqrt2=0$； C. $x^2-2x+1-\sqrt2=0$； D. $x^2+(4-2\sqrt2)x+3-2\sqrt2=0$。

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选 D，直接代入 $x=-1$ 得 0。A 需要 $\sqrt{13}$；C 需要 $\sqrt[4]2$；B 的判别式 $29-24\sqrt2$ 不是 $\mathbb Q(\sqrt2)$ 中的平方。

二、证明题（12 分）

设 $F$ 是域，$M_n(F)$ 是全体 $n$ 阶方阵组成的集合，$n\ge2$。

1. 证明 $M_n(F)$ 在矩阵加法和乘法下成为单环，并举出零因子；
2. 判断所有形如

$$\frac12\begin{pmatrix}x&y\\Dy&x\end{pmatrix}$$

的矩阵是否构成环，其中 $D$ 是给定的无平方因子整数，$x,y$ 是同奇偶性的整数。

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$M_n(F)$ 的环公理来自矩阵运算。若双边理想 $I$ 含非零矩阵 $A=(a_{ij})$，取 $a_{ij}\ne0$，则

$$E_{ki}AE_{jl}=a_{ij}E_{kl}.$$

乘以标量逆元可得所有矩阵单位 $E_{kl}\in I$，故 $I=M_n(F)$，所以它是单环。$E_{11}E_{22}=0$ 且两者非零，是零因子例子。

第二个集合在 $D\equiv1\pmod4$ 时构成环；其他无平方因子 $D$ 不构成环。两元素相乘后的参数为

$$x'=\frac{xu+Dyv}{2}, \qquad y'=\frac{xv+yu}{2}.$$

当两对参数都为奇数时，$x',y'$ 同为整数且同奇偶，恰要求 $D\equiv1\pmod4$。若 $D$ 为偶数或 $D\equiv3\pmod4$，取 $x=y=u=v=1$ 就得到反例。

三、证明题（12 分）

设群 $G$ 作用在集合 $M$ 上，$H_1,H_2,\ldots$ 都是 $G$ 的子群。证明：

1. $\bigcap_{i=1}^{\infty}H_i$ 是 $G$ 的子群；
2. 若 $H_1\subseteq H_2\subseteq\cdots$，则 $\bigcup_{i=1}^{\infty}H_i$ 是 $G$ 的子群；
3. 若 $g\in Z(G)$ 且 $g\cdot x=x$，则对轨道 $O_x$ 中任意 $m$，都有 $g\cdot m=m$。

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交集含幺元。若 $a,b$ 位于交集，则对每个 $i$ 都有 $a,b\in H_i$，所以 $ab^{-1}\in H_i$，从而仍在交集。

对递增并，任取 $a\in H_i,b\in H_j$。不妨 $i\le j$，则二者都在 $H_j$，故 $ab^{-1}\in H_j$，仍在并集中。

最后，任意 $m\in O_x$ 可写成 $m=h\cdot x$。因为 $g$ 在中心，

$$g\cdot m=g\cdot(h\cdot x)=(gh)\cdot x=(hg)\cdot x =h\cdot(g\cdot x)=h\cdot x=m.$$

四、计算题（16 分）

利用中国剩余定理，求

$$x^3-3x+5\equiv0\pmod{105}$$

最小的两个正整数解。

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$105=3\cdot5\cdot7$。分别解得

$$x\equiv1\pmod3, \qquad x\equiv0\pmod5, \qquad x\equiv2\text{ 或 }6\pmod7.$$

对最后的两个分支分别使用 CRT，得到

$$x\equiv100\pmod{105}, \qquad x\equiv55\pmod{105}.$$

所以最小的两个正整数解依次为 $55$、$100$。

五、计算题（18 分）

叙述 Burnside 定理，并计算 3 种颜色、6 颗珠子的手镯数。

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有限群作用的轨道数等于各群元素不动点数的平均。对六珠手镯使用 $D_6$，有

$$\frac{3^6+2\cdot3+2\cdot3^2+3^3+3\cdot3^4+3\cdot3^3}{12}=92.$$

六、证明题（12 分）

设域 $F$ 的特征为素数 $p$，$a,b,a_1,\ldots,a_n\in F$。证明：

1. $(a-b)^p=a^p-b^p$；
2. $(a_1+\cdots+a_n)^{p^k}=a_1^{p^k}+\cdots+a_n^{p^k}$；
3. $\varphi:F\to F$、$a\mapsto a^p$ 是域自同态，且它是同构当且仅当对任意 $b\in F$，方程 $x^p-b=0$ 在 $F$ 中有解。

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二项式系数 $\binom pi$ 在 $1\le i\le p-1$ 时都被 $p$ 整除，故特征 $p$ 下中间项全为零：

$$(a+b)^p=a^p+b^p.$$

把 $b$ 换成 $-b$ 得第一式；对元素个数和指数 $k$ 反复应用该公式，得到第二式。

Frobenius 映射保持加法、乘法和 1，是域同态。若 $a^p=b^p$，则 $(a-b)^p=0$，域中无非零幂零元，所以 $a=b$，即它总是单射。它是同构当且仅当满射，而满射正等价于每个 $b$ 都是某个 $x$ 的 $p$ 次幂，也就是 $x^p-b=0$ 总有解。