课程小论文：克劳修斯不等式的推导依据

#作业

题目要求

克劳修斯等式与不等式也称热力学第二定律的数学表述。请探究克劳修斯推得该公式的依据。

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克劳修斯不等式推导过程概述

摘要

以热力学第二定律为依据，在卡诺循环热机场景下推得卡诺定理；再通过卡诺定理得到热力学第二定律的数学表达，即克劳修斯不等式。

关键词：热力学第二定律；卡诺热机；卡诺定理；克劳修斯等式与不等式

1. 卡诺定理

设有一台工作在高温热源 T1T_1 与低温热源 T2T_2 之间的可逆热机。它从高温热源吸热 Q1Q_1，对外做功 WW，向低温热源放热 Q2Q_2。由能量守恒，

W=Q1−Q2.W=Q_1-Q_2.

因此热机效率为

η=WQ1=1−Q2Q1.\eta=\frac{W}{Q_1} =1-\frac{Q_2}{Q_1}.

对可逆卡诺热机，热量比可由两个热源的热力学温度表示，故

ηC=1−T2T1.\eta_{\mathrm C}=1-\frac{T_2}{T_1}.

再把一台任意热机与一台反向工作的可逆卡诺机组合，并令两者与低温热源交换的热量互相抵消。若任意热机效率高于卡诺机，组合系统就能只从单一热源取热并全部变成功，这与热力学第二定律的 Kelvin 表述矛盾。因此：

  • 在相同的两个热源之间，所有可逆热机的效率相同；
  • 任意不可逆热机的效率都不高于可逆卡诺热机。

也就是

η≤1−T2T1,\eta\leq1-\frac{T_2}{T_1},

等号仅对可逆循环成立。

2. 从卡诺定理到克劳修斯不等式

把

η=1−Q2Q1\eta=1-\frac{Q_2}{Q_1}

代入卡诺定理的不等式，得到

1−Q2Q1≤1−T2T1,1-\frac{Q_2}{Q_1} \leq1-\frac{T_2}{T_1},

即

Q1T1≤Q2T2.\frac{Q_1}{T_1} \leq\frac{Q_2}{T_2}.

若统一规定“系统吸热为正”，那么向低温热源放出的热量应记为负，于是

Q1T1+Q2T2≤0.\frac{Q_1}{T_1}+\frac{Q_2}{T_2}\leq0.

若循环过程中系统依次同 nn 个恒温热源交换热量，同理可得

∑i=1nQiTi≤0.\sum_{i=1}^{n}\frac{Q_i}{T_i}\leq0.

进一步把换热过程细分为无穷多个温差趋于零的小步骤，离散求和过渡为闭合积分：

∮δQT≤0.\boxed{\oint\frac{\delta Q}{T}\leq0}.

这就是克劳修斯不等式；可逆循环取等号，不可逆循环取严格小于号。整条推理链是：

热力学第二定律⟹卡诺定理⟹克劳修斯不等式.\text{热力学第二定律} \Longrightarrow \text{卡诺定理} \Longrightarrow \text{克劳修斯不等式}.

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