2014-2015 学年春真题（期末）

考试日期为 2015 年 7 月 10 日。源文件是带评分答案的 A 卷。第三大题第二问的源答案末行存在明显算术笔误，整理时保留说明并给出校正结果。

一、选择题（每小题 4 分，共 20 分）

1. 向量场的旋度

向量场

$$\mathbf F=(x-z,x^3+yz,-3xy^2)$$

的旋度为（　）。

A. $(-6xy-y,3y^2-1,3x^2)$

B. $(-6xy-y,3y^2+1,3x^2)$

C. $(-6xy+y,3y^2-1,-3x^2)$

D. $(-6xy-y,3y^2-1,3x^2+1)$

查看答案与解析

答案：A。直接按

$$\nabla\times\mathbf F=(R_y-Q_z,P_z-R_x,Q_x-P_y)$$

计算即可。

2. 缩小球体上的积分平均

已知 $f(x,y,z)$ 连续，则

$$\lim_{r\to0^+}\frac{1}{\pi r^3} \iiint_{x^2+y^2+z^2\le r^2}f(x,y,z)\,\mathrm dx\mathrm dy\mathrm dz =(\quad).$$

A. $f(0,0,0)$　B. $\dfrac43f(0,0,0)$　C. $4f(0,0,0)$　D. $\dfrac34f(0,0,0)$

查看答案与解析

答案：B。半径 $r$ 的球体体积为 $4\pi r^3/3$，连续性使球体内的函数值趋近于 $f(0,0,0)$。

3. 改变积分次序

改变积分次序：

$$\int_0^1\!\mathrm dy \int_{1-\sqrt{1-y^2}}^{2-y}f(x,y)\,\mathrm dx=(\quad).$$

A. $\displaystyle\int_0^1\!\mathrm dx\int_0^{\sqrt{2x-x^2}}f\,\mathrm dy+ \int_0^2\!\mathrm dx\int_0^{2-x}f\,\mathrm dy$

B. $\displaystyle\int_0^1\!\mathrm dx\int_0^{\sqrt{1-x^2}}f\,\mathrm dy+ \int_1^2\!\mathrm dx\int_0^{2-x}f\,\mathrm dy$

C. $\displaystyle\int_0^1\!\mathrm dx\int_0^{\sqrt{2x-x^2}}f\,\mathrm dy+ \int_1^2\!\mathrm dx\int_0^{2-x}f\,\mathrm dy$

D. $\displaystyle\int_0^1\!\mathrm dx\int_0^{\sqrt{2x-x^2}}f\,\mathrm dy+ \int_0^2\!\mathrm dx\int_1^{2-x}f\,\mathrm dy$

查看答案与解析

答案：C。左边界是圆 $(x-1)^2+y^2=1$ 的左半支，右边界是直线 $x+y=2$。竖着切时要在 $x=1$ 分段。

4. 三个二重积分的大小

记

$$I_1=\iint_D(x+y)\,\mathrm dx\mathrm dy,$$ $$I_2=\iint_D\ln(x+y)\,\mathrm dx\mathrm dy, \qquad I_3=\iint_D[\ln(x+y)]^2\,\mathrm dx\mathrm dy,$$

其中 $D$ 是顶点为 $(1,0)$、$(1,1)$、$(2,0)$ 的闭三角形，则（　）。

A. $I_1>I_2>I_3$　B. $I_1>I_3>I_2$

C. $I_2>I_1>I_3$　D. $I_3>I_2>I_1$

查看答案与解析

答案：A。在 $D$ 上 $1\le x+y\le2$，所以

$$x+y>\ln(x+y)\ge[\ln(x+y)]^2,$$

且等号只出现在边界的零测集上，积分后得到严格不等式。

5. 路径无关的参数

设 $L$ 是上半平面 $y>0$ 内的有向分段光滑曲线。如果

$$\int_L\frac{(x+ay)\,\mathrm dx+y\,\mathrm dy}{x^2+y^2}$$

与路径无关，则 $a=$（　）。

A. $-1$　B. $0$　C. $1$　D. $2$

查看答案与解析

答案：B。令 $P=(x+ay)/(x^2+y^2)$、$Q=y/(x^2+y^2)$，由 $P_y=Q_x$ 化简得 $a(x^2-y^2)=0$，故 $a=0$。

二、计算题（每小题 5 分，共 30 分）

1. 椭圆域上的二重积分

已知

$$D=\left\{(x,y)\mid\frac{x^2}{4}+y^2\le1\right\},$$

利用广义极坐标计算

$$I=\iint_D(x^2+4y^2)\,\mathrm dx\mathrm dy.$$

查看答案与解析

令 $x=2r\cos\theta$、$y=r\sin\theta$，Jacobian 为 $2r$。于是

$$I=\int_0^{2\pi}\!\mathrm d\theta\int_0^1 4r^2\cdot2r\,\mathrm dr =4\pi.$$

2. 锥面上的第一型曲面积分

计算

$$\iint_\Sigma z\,\mathrm dS,$$

其中

$$\Sigma:z=1-\sqrt{x^2+y^2},\qquad0\le z\le1.$$

查看答案与解析

投影是单位圆盘，且 $\sqrt{1+z_x^2+z_y^2}=\sqrt2$。故

$$\begin{aligned} I&=\sqrt2\int_0^{2\pi}\!\mathrm d\theta\int_0^1(1-r)r\,\mathrm dr\\ &=\frac{\sqrt2\pi}{3}. \end{aligned}$$

3. 利用对称性计算三重积分

计算

$$\iiint_\Omega\left[xy^3\cos z-x^3e^{-z^2}+5\right], \mathrm dx\mathrm dy\mathrm dz,$$

其中 $\Omega$ 是上半球面 $x^2+y^2+z^2=4$ 与旋转抛物面 $x^2+y^2=3z$ 围成的区域。

查看答案与解析

区域关于 $yOz$ 平面对称，前两项关于 $x$ 都是奇函数，积分为零。两曲面相交于 $r^2=3$、$z=1$，故

$$\begin{aligned} I&=5\int_0^{2\pi}\!\mathrm d\theta\int_0^{\sqrt3}r\,\mathrm dr \int_{r^2/3}^{\sqrt{4-r^2}}\!\mathrm dz\\ &=10\pi\int_0^{\sqrt3}\left(\sqrt{4-r^2}-\frac{r^2}{3}\right)r\,\mathrm dr =\frac{95\pi}{6}. \end{aligned}$$

4. 球面上的第一型曲面积分

计算

$$\iint_\Sigma\left[(2x^2+y^2)+3xyz\right],\mathrm dS,$$

其中 $\Sigma:x^2+y^2+z^2=a^2$，$a>0$。

查看答案与解析

轮换对称性给出

$$\iint_\Sigma x^2\,\mathrm dS =\iint_\Sigma y^2\,\mathrm dS =\iint_\Sigma z^2\,\mathrm dS =\frac13a^2\cdot4\pi a^2.$$

而 $xyz$ 关于任一坐标面为奇函数，其球面积分为零。因此

$$I=4\pi a^4.$$

5. 螺线上的第一型曲线积分

计算

$$\int_\Gamma xyz\,\mathrm ds,$$

其中 $\Gamma:x=\cos t,\ y=\sin t,\ z=t$，$0\le t\le2\pi$。

查看答案与解析

$\mathrm ds=\sqrt2\,\mathrm dt$，所以

$$I=\sqrt2\int_0^{2\pi}t\cos t\sin t\,\mathrm dt =\frac{\sqrt2}{2}\int_0^{2\pi}t\sin2t\,\mathrm dt =-\frac{\sqrt2\pi}{2}.$$

6. 抛物面上的第二型曲面积分

计算

$$\iint_\Sigma z^2\,\mathrm dy\mathrm dz +\mathrm dz\mathrm dx-y^2\,\mathrm dx\mathrm dy,$$

其中 $\Sigma:z=x^2+y^2$ 介于 $z=0$、$z=4$ 之间，取下侧。

查看答案与解析

投影为 $D:x^2+y^2\le4$。按下侧定向投影，原积分可化为

$$-\iint_D[-2x(x^2+y^2)^2-2y-y^2],\mathrm dx\mathrm dy.$$

前两项分别关于 $x$、$y$ 为奇函数，故只剩

$$\iint_Dy^2\,\mathrm dx\mathrm dy =\int_0^{2\pi}\!\mathrm d\theta\int_0^2r^3\sin^2\theta\,\mathrm dr =4\pi.$$

三、常微分方程与路径无关积分

1. 常系数非齐次方程（8 分）

求

$$y''-2y'-3y=e^{-x}$$

的通解。

查看答案与解析

特征方程 $r^2-2r-3=0$ 的根为 $3,-1$。由于右端指数 $-1$ 与特征根重合，设特解 $y^*=Axe^{-x}$，代入得 $A=-1/4$。所以

$$y=C_1e^{-x}+C_2e^{3x}-\frac14xe^{-x}.$$

2. 三维路径无关积分（10 分）

已知

$$I=\int_\Gamma(y+z)\,\mathrm dx+(z+x)\,\mathrm dy+(x+y)\,\mathrm dz.$$

1. 证明 $I$ 与路径无关；
2. 当 $\Gamma$ 从 $A(0,0,0)$ 到 $B(1,1,1)$ 时，求 $I$。

查看答案与解析

向量场

$$\mathbf F=(y+z,z+x,x+y)$$

的交叉偏导两两相等，且它在全空间上定义，所以是保守场。一个势函数为

$$\Phi(x,y,z)=xy+xz+yz.$$

因此

$$I=\Phi(1,1,1)-\Phi(0,0,0)=3.$$

源答案最后一行印作 $I=1$，但它前一行已经正确得到 $I=xy+xz+yz-(x_0y_0+x_0z_0+y_0z_0)$；代入两端点应为 $3$，这里按直接计算校正。

四、Green 公式（12 分）

计算

$$\int_L\frac{y\,\mathrm dx-x\,\mathrm dy}{x^2+y^2},$$

其中 $L$ 是上半椭圆

$$\frac{(x-1)^2}{9}+y^2=1,\qquad y\ge0,$$

方向为逆时针方向。

查看答案与解析

被积形式在原点有奇点。用 $x$ 轴线段补成边界，并在原点上方挖去半径 $\varepsilon$ 的小半圆。在去掉奇点的区域内 $Q_x-P_y=0$，两段 $x$ 轴上的积分也为零。小半圆按区域的负向走，其积分为 $\pi$，所以

$$\int_L=-\pi.$$

五、Gauss 公式（10 分）

计算

$$\iint_\Sigma(x-y)\,\mathrm dy\mathrm dz +(y-z)\,\mathrm dz\mathrm dx +(z-x)\,\mathrm dx\mathrm dy,$$

其中 $\Sigma$ 是锥面 $z=\sqrt{x^2+y^2}$ 介于 $z=0$、$z=h$ 之间的部分，取下侧，$h>0$。

查看答案与解析

补上平面 $\Sigma_1:z=h$，取上侧。向量场散度为 $3$，圆锥体积为 $\pi h^3/3$，故闭曲面通量为 $\pi h^3$。辅助面上

$$\iint_{x^2+y^2\le h^2}(h-x)\,\mathrm dx\mathrm dy=\pi h^3.$$

两者相减，原曲面通量为

$$0.$$

六、Stokes 公式（10 分）

计算

$$\oint_\Gamma(y+x)\,\mathrm dx+(z-\sin y)\,\mathrm dy+2x\,\mathrm dz,$$

其中 $\Gamma$ 是柱面 $x^2+y^2=1$ 与平面 $x+y+z=1$ 的交线；从 $z$ 轴正向看，$\Gamma$ 为顺时针方向。

查看答案与解析

取平面片的下侧，与题设方向相容。向量场旋度为

$$\nabla\times\mathbf F=(-1,-2,-1).$$

平面写成 $z=1-x-y$，下侧有向面积向量为 $(-1,-1,-1)\,\mathrm dx\mathrm dy$，因此点积恒为 $4$。投影是单位圆盘，故

$$\oint_\Gamma\mathbf F\cdot\mathrm d\mathbf r =4\iint_{x^2+y^2\le1}\mathrm dx\mathrm dy=4\pi.$$

七、附加题（10 分）

设 $D=[0,\pi]\times[0,\pi]$，$L$ 为 $D$ 的正向边界。证明：

$$\oint_Lxe^{\sin y}\,\mathrm dy-ye^{-\sin x}\,\mathrm dx =\oint_Lxe^{-\sin y}\,\mathrm dy-ye^{\sin x}\,\mathrm dx,$$

并证明

$$\oint_Lxe^{\sin y}\,\mathrm dy-ye^{-\sin x}\,\mathrm dx \ge\frac52\pi^2.$$

查看答案与解析

由 Green 公式，左边第一个积分等于

$$\iint_D(e^{\sin y}+e^{-\sin x})\,\mathrm dx\mathrm dy,$$

右边相应等于

$$\iint_D(e^{-\sin y}+e^{\sin x})\,\mathrm dx\mathrm dy.$$

区域 $D$ 关于 $x=y$ 对称，交换 $x,y$ 后两式相等，第一问得证。

再用 $e^t+e^{-t}\ge2+t^2$，并利用第一问把两个相等的积分取平均：

$$\begin{aligned} I&=\frac12\iint_D \left(e^{\sin y}+e^{-\sin y}+e^{\sin x}+e^{-\sin x}\right) \,\mathrm dx\mathrm dy\\ &\ge\frac12\iint_D(4+\sin^2x+\sin^2y)\,\mathrm dx\mathrm dy =\frac52\pi^2. \end{aligned}$$