第 16 周主观作业提交 · 广义积分

#作业

源目录中的《第十六周题.pdf》没有独立题面，正文是带红色批改痕迹的手写作答。下面按题号与教材对应，保留可辨认的提交值和教师批注，不把被批错的推导替换成标准答案。首尾空白页不作为题目展示。

习题 9.1

习题 9.1 · 第 1 题（第 3、5、7、10 小题）

计算：

  1. ∫0+∞dxx4+a4\displaystyle\int_0^{+\infty}\frac{dx}{x^4+a^4}；
  2. ∫0+∞xln⁡x(1+x2)2 dx\displaystyle\int_0^{+\infty}\frac{x\ln x}{(1+x^2)^2}\,dx；
  3. ∫0+∞dx1+x3\displaystyle\int_0^{+\infty}\frac{dx}{1+x^3}；
  4. ∫0+∞e−axsin⁡bx dx\displaystyle\int_0^{+\infty}e^{-ax}\sin bx\,dx，其中 a>0a>0，b≠0b\neq0。
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第 3 小题令 x=atan⁡tx=a\tan t，最后写成 π/(4a3)\pi/(4a^3)；该行被红笔划出，未写教师改正值。

第 5 小题令 t=1/xt=1/x，把积分化为自身的相反数，得到

I=−I,I=0,I=-I, \qquad I=0,

旁有红色对勾。

第 7 小题先做部分分式分解，提交结果为

2π33,\frac{2\pi}{3\sqrt3},

旁有红色对勾。

第 10 小题使用分部积分，并把 e−axsin⁡bxe^{-ax}\sin bx 合并成带相位的指数衰减形式，最后提交

I=ba2+b2.I=\frac{b}{a^2+b^2}.

中间一段推导被红笔划改，但末值保留。

习题 9.1 · 第 3 题

求 cc，使

∫0+∞(2xx2+1−c2x+1)dx\int_0^{+\infty}\left(\frac{2x}{x^2+1}-\frac{c}{2x+1}\right)dx

收敛，并求积分值。

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稿中合并对数后比较无穷远处的发散项，分别讨论 c<4c<4、c>4c>4 和 c=4c=4，最后提交

c=4,I=−2ln⁡2.c=4, \qquad I=-2\ln2.

旁有红色对勾。

习题 9.1 · 第 6 题

设 f(x)f(x) 在 [a,+∞)[a,+\infty) 上连续，且 ∫a+∞f(x) dx\displaystyle\int_a^{+\infty}f(x)\,dx 收敛。证明存在数列 xn→+∞x_n\to+\infty，使 f(xn)→0f(x_n)\to0。

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提交从“假设 lim⁡x→+∞f(x)=A≠0\lim_{x\to+\infty}f(x)=A\neq0”开始，用积分尾部与常数比较来制造矛盾，最后断言 A=0A=0，再称由极限定义可取所需数列。

教师在这一页用红字指出：“函数极限不一定存在。”因此原稿的起点并不由题设保证，这份证明被判为无效。

习题 9.2

习题 9.2 · 第 1 题（第 1、3、7 小题）

判断：

  1. ∫1+∞x1+x2 dx\displaystyle\int_1^{+\infty}\frac{x}{1+x^2}\,dx；
  2. ∫1+∞dx1+x∣sin⁡x∣\displaystyle\int_1^{+\infty}\frac{dx}{1+x|\sin x|}；
  3. ∫0+∞arctan⁡x1+xp dx\displaystyle\int_0^{+\infty}\frac{\arctan x}{1+x^p}\,dx。
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第 1 小题写出被积函数与 1/x1/x 的极限比较，结论为发散。

第 3 小题用

11+x∣sin⁡x∣≥11+x\frac1{1+x|\sin x|}\geq\frac1{1+x}

比较，结论为发散。

第 7 小题在 x=1x=1 处分段。稿中根据 arctan⁡x∼x\arctan x\sim x（x→0+x\to0^+）与 arctan⁡x∼π/2\arctan x\sim\pi/2（x→+∞x\to+\infty）写出：当 p>1p>1 时收敛，当 0<p≤10<p\leq1 时发散。源题未限定 pp 的范围，稿中也没有讨论 p≤0p\leq0。

习题 9.2 · 第 2 题

设 ∫a+∞f(x) dx\displaystyle\int_a^{+\infty}f(x)\,dx 收敛。是否一定有 lim⁡x→+∞f(x)=0\lim_{x\to+\infty}f(x)=0？证明：如果极限存在且等于实数 bb，则 b=0b=0。

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稿中分别假设 b>0b>0 与 b<0b<0。以 b>0b>0 为例，取足够大的 MM，使 x>Mx>M 时 f(x)>b/2f(x)>b/2，于是尾积分下界随上限趋向无穷，与收敛矛盾；b<0b<0 同理。最后写出 b=0b=0。

习题 9.2 · 第 4 题

设 g(x)≤f(x)≤h(x)g(x)\leq f(x)\leq h(x)，且 ∫a+∞g(x) dx\displaystyle\int_a^{+\infty}g(x)\,dx、∫a+∞h(x) dx\displaystyle\int_a^{+\infty}h(x)\,dx 都收敛。证明 ∫a+∞f(x) dx\displaystyle\int_a^{+\infty}f(x)\,dx 收敛。

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稿中由

0≤f(x)−g(x)≤h(x)−g(x)0\leq f(x)-g(x)\leq h(x)-g(x)

先写出 ∫a+∞[h(x)−g(x)] dx\int_a^{+\infty}[h(x)-g(x)]\,dx 收敛，再用比较判别得到 ∫a+∞[f(x)−g(x)] dx\int_a^{+\infty}[f(x)-g(x)]\,dx 收敛，最后加回 gg，得到 ∫a+∞f(x) dx\int_a^{+\infty}f(x)\,dx 收敛。

习题 9.4

习题 9.4 · 第 1 题（第 1、4、6 小题）

计算：

  1. ∫0adxa−x\displaystyle\int_0^a\frac{dx}{\sqrt{a-x}}；
  2. ∫−11∣x∣(2−x2)1−x2 dx\displaystyle\int_{-1}^1\frac{|x|}{(2-x^2)\sqrt{1-x^2}}\,dx；
  3. ∫01xmln⁡nx dx\displaystyle\int_0^1x^m\ln^n x\,dx。
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第 1 小题提交为

2a,2\sqrt a,

旁有红色对勾。

第 4 小题利用偶函数对称性，再令 t=1−x2t=\sqrt{1-x^2}，提交结果为

π2.\frac\pi2.

换元中间一步被红笔改写，末值保留。

第 6 小题连续分部积分，提交为

(−1)nn!(m+1)n+1,\frac{(-1)^n n!}{(m+1)^{n+1}},

旁有红色对勾。稿中没有另写参数取值条件。

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