第 13 周作业 · 微积分基本定理

我按教学日历指定的题号，从《工科数学分析（上册）》逐题转录。源材料没有随这次教材作业提供答案，因此这里只保留题目，不补写答案。

习题 7.3

习题 7.3 · 第 1 题（第 1、3 小题）

利用定积分求极限：

1. $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac1{n^4}\left(1+2^3+\cdots+n^3\right)$；
2. $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n\frac{\sin\frac{k\pi}{n}}{n+\frac{k}{n}}$。

习题 7.3 · 第 2 题

求下列极限：

1. $\displaystyle\lim_{x\to0}\frac1x\int_0^x\cos t^2\,dt$；
2. $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{\left(\int_0^xe^{t^2}\,dt\right)^2}{\int_0^xe^{2t^2}\,dt}$。

习题 7.3 · 第 3 题（偶数小题）

计算下列定积分：

1. $\displaystyle\int_{1/4}^{1/2}\frac{\arcsin\sqrt x}{\sqrt{x(1-x)}}\,dx$；
2. $\displaystyle\int_0^{\pi/2}\frac{\cos x}{\sin x+\cos x}\,dx$；
3. $\displaystyle\int_0^ax^2\sqrt{a^2-x^2}\,dx$；
4. $\displaystyle\int_{-2}^{-1}\frac1{x\sqrt{x^2-1}}\,dx$；
5. $\displaystyle\int_0^2\frac{1+x^2}{1+x^4}\,dx$。

习题 7.3 · 第 4 题（第 1、5、7、9 小题）

计算下列定积分：

1. $\displaystyle\int_0^2\max\{x^2,x\}\,dx$；
2. $\displaystyle\int_0^2(2x+1)\sqrt{2x-x^2}\,dx$；
3. $\displaystyle\int_0^1\frac{\ln(1+x)}{1+x^2}\,dx$；
4. $\displaystyle\int_0^1x^2\sqrt{1-x^2}\,dx$。

习题 7.3 · 第 5 题

函数 $f(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上连续，且 $\lim_{x\to+\infty}f(x)=a$。证明

$$\lim_{x\to+\infty}\frac1x\int_0^xf(t)\,dt=a.$$

习题 7.3 · 第 6 题

设函数 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续且 $f(x)>0$。试将下面的极限表示为积分形式：

$$\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{f\!\left(\frac1n\right)f\!\left(\frac2n\right)\cdots f\!\left(\frac{n-1}{n}\right)f(1)}.$$

习题 7.3 · 第 7 题

设 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续且单调递增。证明

$$\int_a^bxf(x)\,dx\geq\frac{a+b}{2}\int_a^bf(x)\,dx.$$

习题 7.3 · 第 9 题

证明

$$\int_0^{\pi/2}(\sin\theta-\cos\theta)\ln(\sin\theta+\cos\theta)\,d\theta=0.$$