第 8 周作业 · 中值定理与函数性态

#作业

我按教学日历指定的题号，从《工科数学分析（上册）》逐题转录。源材料没有随这次作业提供答案，因此这里只保留题目，不补写答案。

习题 4.5

习题 4.5 · 第 3 题

证明：方程

(n+1)anxn+nan−1xn−1+⋯+3a2x2+2a1x=an+an−1+⋯+a1(n+1)a_nx^n+na_{n-1}x^{n-1}+\cdots+3a_2x^2+2a_1x =a_n+a_{n-1}+\cdots+a_1

在区间 (0,1)(0,1) 上至少有一个根。

习题 4.5 · 第 4 题

设函数 f(x)f(x) 在 [a,b][a,b] 上连续，在 (a,b)(a,b) 上可导，且存在 c∈(a,b)c\in(a,b)，使得

f(a)+f(c)=2f(b).f(a)+f(c)=2f(b).

证明：存在 θ∈(a,b)\theta\in(a,b)，使得 f′(θ)=0f'(\theta)=0。

习题 4.5 · 第 6 题

设函数 f(x)f(x) 在 [0,1][0,1] 上有 nn 阶导数，且 f(0)=f(1)=0f(0)=f(1)=0。令

F(x)=xn−1f(x).F(x)=x^{n-1}f(x).

证明：存在 ξ∈(0,1)\xi\in(0,1)，使得 F(n)(ξ)=0F^{(n)}(\xi)=0。

习题 4.5 · 第 7 题

设 f(x)f(x) 在 [0,1][0,1] 上连续，在 (0,1)(0,1) 内可导，f(0)=0f(0)=0，且对任意 x∈(0,1)x\in(0,1) 有 f(x)≠0f(x)\neq0。证明：任取 a>0a>0，都存在 θ∈(0,1)\theta\in(0,1)，使得

f′(1−θ)f(1−θ)=af′(θ)f(θ).\frac{f'(1-\theta)}{f(1-\theta)} =a\frac{f'(\theta)}{f(\theta)}.

习题 4.5 · 第 8 题

设 f(x)f(x) 在 [a,b][a,b] 上连续，在 (a,b)(a,b) 内可导，且 f(a)=f(b)=0f(a)=f(b)=0。证明：对任意 k∈Rk\in\mathbb R，存在 θ∈(a,b)\theta\in(a,b)，使得

f′(θ)=kf(θ).f'(\theta)=k f(\theta).

习题 4.5 · 第 9 题

设 f(x)f(x) 在 [a,b][a,b] 上连续，在 (a,b)(a,b) 内可导。证明存在 ξ∈(a,b)\xi\in(a,b)，使得

2ξ [f(b)−f(a)]=(b2−a2)f′(ξ).2\xi\,[f(b)-f(a)]=(b^2-a^2)f'(\xi).

习题 4.5 · 第 10 题

设非线性函数在 [a,b][a,b] 上连续，在 (a,b)(a,b) 内可导。证明在 (a,b)(a,b) 上至少存在一点 η\eta，使得

∣f′(η)∣>∣f(b)−f(a)b−a∣.|f'(\eta)|>\left|\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\right|.

习题 4.5 · 第 11 题

设 f(x)f(x) 在区间 (a,b)(a,b) 上可导。证明：对任意 x0∈(a,b)x_0\in(a,b)，存在趋于 x0x_0 的两个数列 {xn}\{x_n\}、{yn}\{y_n\}，其中 xn<x0<ynx_n<x_0<y_n，使 {f′(xn)}\{f'(x_n)\} 和 {f′(yn)}\{f'(y_n)\} 都趋于 f′(x0)f'(x_0)。

习题 4.5 · 第 12 题

求数列极限

lim⁡n→∞n2(arctan⁡an−arctan⁡an+1),\lim_{n\to\infty}n^2\left(\arctan\frac an-\arctan\frac a{n+1}\right),

其中 a≠0a\neq0 为常数。

习题 4.5 · 第 15 题（第 1 小题）

证明恒等式

2arctan⁡x+arcsin⁡2x1+x2=π,x∈[1,+∞).2\arctan x+\arcsin\frac{2x}{1+x^2}=\pi, \qquad x\in[1,+\infty).

习题 4.5 · 第 16 题（第 1、3 小题）

利用 Lagrange 公式证明不等式：

  1. ∣sin⁡x−sin⁡y∣⩽∣x−y∣|\sin x-\sin y|\leqslant|x-y|，x,y∈Rx,y\in\mathbb R；
  2. β−αcos⁡2α<tan⁡β−tan⁡α<β−αcos⁡2β\displaystyle\frac{\beta-\alpha}{\cos^2\alpha}<\tan\beta-\tan\alpha<\frac{\beta-\alpha}{\cos^2\beta}，其中 0<α<β<π20<\alpha<\beta<\dfrac\pi2。

习题 4.5 · 第 17 题

设 x2>x1>0x_2>x_1>0。证明：存在 ξ∈(x1,x2)\xi\in(x_1,x_2)，满足

x1ex2−x2ex1=(1−ξ)eξ(x1−x2).x_1e^{x_2}-x_2e^{x_1}=(1-\xi)e^\xi(x_1-x_2).

习题 4.6

习题 4.6 · 第 1 题（第 1 小题）

研究函数

f(x)=(1+1x)x,x∈(0,+∞)f(x)=\left(1+\frac1x\right)^x, \qquad x\in(0,+\infty)

在指定区间内的单调性，并根据结论证明

(1+1x)x<e<(1+1x)x+1,x>0.\left(1+\frac1x\right)^x<e<\left(1+\frac1x\right)^{x+1}, \qquad x>0.

习题 4.6 · 第 2 题（第 1、2 小题）

利用函数的单调性证明：

  1. x−x36<sin⁡x<x\displaystyle x-\frac{x^3}{6}<\sin x<x，当 x>0x>0 时；
  2. x−x22<ln⁡(1+x)<x\displaystyle x-\frac{x^2}{2}<\ln(1+x)<x，当 x>0x>0 时。

习题 4.6 · 第 3 题

设函数 f(x)f(x) 在区间 [a,+∞)[a,+\infty) 上连续，在 (a,+∞)(a,+\infty) 可导，且 f′f' 严格单调递增。证明

F(h)=f(a+h)−f(a)hF(h)=\frac{f(a+h)-f(a)}h

关于 hh 也严格单调递增。

习题 4.6 · 第 5 题

设 f(x)f(x) 在 R\mathbb R 上有连续二阶导数。若 f(x)f(x) 在 R\mathbb R 上有界，证明存在 θ∈R\theta\in\mathbb R，使得 f′′(θ)=0f''(\theta)=0。

习题 4.6 · 第 6 题（第 4 小题）

求函数

y=x−ln⁡(1+x)y=x-\ln(1+x)

的极值点，并确定其单调区间。

习题 4.6 · 第 9 题（第 2、3 小题）

求下列函数在指定区间上的最大值和最小值：

  1. f(x)=∣2x3−9x2+12x∣\displaystyle f(x)=|2x^3-9x^2+12x|，x∈[−14,52]x\in\left[-\frac14,\frac52\right]；
  2. f(x)=x2e−nx\displaystyle f(x)=x^2e^{-nx}，x∈(0,+∞)x\in(0,+\infty)。

习题 4.6 · 第 10 题（第 1 小题）

在 α>1\alpha>1 的情形下，求函数

f(x)=(1+x)α−αxf(x)=(1+x)^\alpha-\alpha x

在 (−1,+∞)(-1,+\infty) 上的最值，并据此证明 Bernoulli 不等式：当 x⩾−1x\geqslant-1 时，

(1+x)α⩾1+αx.(1+x)^\alpha\geqslant1+\alpha x.

习题 4.6 · 第 15 题

设 f(x)f(x) 是区间 (a,b)(a,b) 上的凸函数。证明：对任意 x∈(a,b)x\in(a,b)，f(x)f(x) 在 xx 点连续，并存在左右导数。

教材提示：凸函数的定义中并没有预先假设函数连续。

习题 4.6 · 第 18 题（第 2 小题）

判断函数

f(x)=ln⁡x1+x,x>0f(x)=\ln\frac{x}{1+x}, \qquad x>0

的凹凸性。

习题 4.6 · 第 19 题（第 1 小题）

求曲线

y=−x3+3x2y=-x^3+3x^2

的拐点。

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