第 2 周作业 · 集合、映射与数列极限

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#作业

本篇按教学日历指定的题号，从《工科数学分析（上册）》逐题转录。源材料没有随这次作业提供答案，因此这里只保留题目，不补写答案。

习题 1.2

习题 1.2 · 第 4 题

设 D(x)D(x) 是教材例 1.2.5 中给出的 Dirichlet 函数。

  1. 求复合函数 D∘DD\circ D；
  2. 求 D−1({0})D^{-1}(\{0\})、D−1({1})D^{-1}(\{1\})、D−1((0,1])D^{-1}((0,1])。

习题 1.2 · 第 5 题

证明：定义于 (−∞,+∞)(-\infty,+\infty) 上的任何函数都可以表示成一个偶函数与一个奇函数之和。

习题 1.4

习题 1.4 · 第 2 题

指出下列数集的下确界与上确界：

  1. {sin⁡x∣x∈(0,10)}\{\sin x\mid x\in(0,10)\}；
  2. {1n∣n∈N∗}\left\{\dfrac{1}{\sqrt n}\mid n\in\mathbb N^*\right\}；
  3. {x∣x2+4x+3>0}\{x\mid x^2+4x+3>0\}。

习题 1.4 · 第 3 题

证明：若集合 SS 有上界，则数集 T={x∣−x∈S}T=\{x\mid -x\in S\} 有下界，且

sup⁡S=−inf⁡T.\sup S=-\inf T.

习题 2.1

习题 2.1 · 第 2 题（第 6—9 小题）

用极限定义证明：

  1. lim⁡n→∞1+2+⋯+nn2=12\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{1+2+\cdots+n}{n^2}=\frac12；
  2. lim⁡n→∞n!nn=0\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{n!}{n^n}=0；
  3. lim⁡n→∞nkan=0(k>0, a>1)\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{n^k}{a^n}=0\quad(k>0,\ a>1)；
  4. lim⁡n→∞ann!=0(a>0)\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{a^n}{n!}=0\quad(a>0)。

习题 2.1 · 第 3 题

设 lim⁡n→∞an=a\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n=a，证明

lim⁡n→∞∣an∣=∣a∣.\lim_{n\to\infty}|a_n|=|a|.

举例说明反之不真。

习题 2.1 · 第 4 题

设 an⩽a⩽bna_n\leqslant a\leqslant b_n，n=1,2,…n=1,2,\ldots，且

lim⁡n→∞(bn−an)=0.\lim_{n\to\infty}(b_n-a_n)=0.

证明：

lim⁡n→∞bn=lim⁡n→∞an=a.\lim_{n\to\infty}b_n=\lim_{n\to\infty}a_n=a.

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