2019—2020 学年秋季学期真题 · 期中

一、单项选择题（每题 4 分，共 20 分）

1. 收敛与发散数列

设 $\{a_n\}$ 收敛、$\{b_n\}$ 发散，正确的是：

• A. $\{a_n+b_n\}$ 一定收敛
• B. $\{a_n+b_n\}$ 一定发散
• C. $\{a_nb_n\}$ 一定收敛
• D. $\{a_nb_n\}$ 一定发散

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答案为 B。若 $a_n+b_n$ 收敛，则 $b_n=(a_n+b_n)-a_n$ 也应收敛，矛盾。

2. 复合函数连续性

下列关于 $g(f(x))$ 的论断正确的是：

• A. $f$ 在 $x_0$ 不连续、$g$ 在 $f(x_0)$ 连续，则复合函数必不连续
• B. $f,g$ 在对应点都不连续，则复合函数必不连续
• C. $f$ 在 $x_0$ 连续且 $g$ 在 $f(x_0)$ 连续，则复合函数在 $x_0$ 连续
• D. $f$ 连续而 $g$ 不连续，则复合函数必连续

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答案为 C，这是复合函数连续性定理。

3. 相切曲线与极限

连续曲线 $y=f(x)$ 与 $y=\ln(1+2x)$ 在原点相切。求

$$\lim_{n\to\infty}n f\left(\frac2{n+1}\right).$$

• A. $0$　B. $1$　C. $2$　D. $4$

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答案为 D。相切给出 $f(0)=0,f'(0)=2$，所以 $f(x)=2x+o(x)$，代入即得 $4$。

4. 隐函数微分

函数 $y=y(x)$ 由

$$xe^{f(y)}=e^y\ln2019$$

确定，且 $f'(y)\ne1$。求 $\mathrm dy$。

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答案为

$$\mathrm dy=\frac{\mathrm dx}{x[1-f'(y)]}.$$

对等式取对数后微分即可。

5. 微分方程

已知 $f'(x)=f(x)/x$，$f(1)=3$，求 $f(2)$。

• A. $1$　B. $2$　C. $3$　D. $6$

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答案为 D。方程通解为 $f(x)=Cx$，由初值知 $C=3$。

二、计算题（每题 5 分，共 30 分）

1. 数列极限

求

$$\lim_{n\to\infty}(n!)^{1/n^2}.$$

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由 $1\le n!\le n^n$，有 $1\le(n!)^{1/n^2}\le n^{1/n}\to1$，故极限为 $1$。

2. 幂指函数极限

求

$$\lim_{x\to0}\left(\frac{\sin x}{x}\right)^{1/x^2}.$$

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取对数后极限为

$$\lim_{x\to0}\frac{\ln(\sin x/x)}{x^2}=-\frac16,$$

故原极限为 $e^{-1/6}$。

3. 参数方程求导

设

$$x=e^t-t, \qquad y=e^t-\sin t, \qquad t\in[1,+\infty),$$

求 $\mathrm dy/\mathrm dx$ 与 $\mathrm d^2y/\mathrm dx^2$。

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$$\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx} =\frac{e^t-\cos t}{e^t-1},$$ $$\frac{\mathrm d^2y}{\mathrm dx^2} =\frac{(\sin t+\cos t-1)e^t-\sin t}{(e^t-1)^3}.$$

4. 高阶导数

设 $y=x^2\sin3x$，求 $y^{(10)}$。

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Leibniz 公式中只有对 $x^2$ 求零、一、二阶导的三项：

$$y^{(10)}=-3^{10}x^2\sin3x +20\cdot3^9x\cos3x +90\cdot3^8\sin3x.$$

5. Maclaurin 公式

求 $f(x)=e^{1-\cos x}$ 到 $x^4$ 项、带 Peano 余项的 Maclaurin 公式。

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$$e^{1-\cos x}=1+\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{12}+o(x^4).$$

6. 间断点类型

设 $f$ 仅在 $x=0$ 处可导，且 $f(0)=0,f'(0)\ne0$。令

$$g(x)= \begin{cases} \dfrac{(\tan x+\sin x)f(x)}{x^2},&x\ne0,\\ f'(0),&x=0. \end{cases}$$

判断 $g$ 在 $0$ 处是否连续；若不连续，指出类型。

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$$\lim_{x\to0}g(x) =\lim_{x\to0}\frac{\tan x+\sin x}{x} \cdot\frac{f(x)-f(0)}x =2f'(0)\ne g(0).$$

因此不连续，但极限存在，是可去间断点。

三、一致连续（6 分）

用定义证明

$$f(x)=\frac1x\sin\frac1x$$

在 $[1,+\infty)$ 上一致连续。

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对 $x_1,x_2\ge1$，拆项并使用 $|\sin u-\sin v|\le|u-v|$，可得

$$|f(x_1)-f(x_2)|\le2|x_1-x_2|.$$

给定 $\varepsilon>0$，取 $\delta=\varepsilon/2$ 即满足一致连续定义。

四、递推数列（10 分）

设 $x_1>0$，$x_{n+1}=\sin x_n>0$。

1. 证明 $\{x_n\}$ 收敛并求极限；
2. 求其下确界；
3. 求 $\lim_{n\to\infty}nx_n^2$。

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因 $0<\sin x<x$，数列正且单调下降，极限 $A$ 满足 $A=\sin A$，所以 $A=0$；下确界也是 $0$。

对第三问使用 Stolz 定理与 $x-sin x\sim x^3/6$：

$$\lim nx_n^2 =\lim\frac{x_n^2x_{n-1}^2}{x_{n-1}^2-x_n^2}=3.$$

五、Cauchy 基本列（8 分）

设

$$x_n=\sum_{k=1}^n \frac{\cos(k!)}{k[k+1+\cos(k!)]}.$$

证明 $\{x_n\}$ 是基本列。

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对任意 $p\ge1$，

$$|x_{n+p}-x_n| \le\sum_{k=n+1}^{n+p}\frac1{k^2} \le\sum_{k=n+1}^{n+p}\frac1{k(k-1)} =\frac1n-\frac1{n+p}<\frac1n.$$

右端与 $p$ 无关并趋于零，故满足 Cauchy 条件。

六、函数性态（8 分）

求 $f(x)=xe^x$ 的单调区间、极值、凹凸区间与拐点。

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$$f'(x)=(x+1)e^x, \qquad f''(x)=(x+2)e^x.$$

• $(-\infty,-1)$ 递减，$(-1,+\infty)$ 递增；
• $x=-1$ 为极小值点，极小值 $-e^{-1}$；
• $x<-2$ 时曲线向下弯，$x>-2$ 时向上弯；
• 拐点为 $(-2,-2e^{-2})$。

七、零点与 Rolle 定理（10 分）

设 $f\in C[0,1]$，在 $(0,1)$ 内可导，且 $f(0)=f(1)=0,f(1/2)=1$。证明：

1. 存在 $\eta\in(1/2,1)$，使 $f(\eta)=\eta$；
2. 存在 $\xi\in(0,1)$，使

$$f'(\xi)+2\xi[f(\xi)-\xi]=1.$$

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令 $F(x)=f(x)-x$，则 $F(1/2)=1/2>0,F(1)=-1<0$，由零点定理得第一问。

再令

$$G(x)=e^{x^2}[f(x)-x].$$

由 $G(0)=G(\eta)=0$，Rolle 定理给出某个 $\xi\in(0,\eta)$ 使 $G'(\xi)=0$；化简即得第二问。

八、三阶导数中值（8 分）

函数 $f$ 在 $[0,2]$ 上有三阶连续导数，且

$$f(0)=0, \qquad f(2)=2, \qquad f'(1)=0.$$

证明至少存在 $\xi\in(0,2)$，使 $f'''(\xi)=6$。

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分别把 $x=0,2$ 代入 $f$ 在 $x=1$ 处带 Lagrange 余项的二阶 Taylor 公式：

$$f(0)=f(1)+\frac{f''(1)}2-\frac{f'''(\eta_1)}6,$$ $$f(2)=f(1)+\frac{f''(1)}2+\frac{f'''(\eta_2)}6.$$

相减得 $[f'''(\eta_1)+f'''(\eta_2)]/2=6$。由 $f'''$ 连续及介值定理，存在一点取值为 $6$。