2019—2020 学年秋季学期真题 · 期末

Views: --
#真题

一、选择题（每题 4 分，共 24 分）

1. 分部积分

设 f′′f'' 连续，且 f(0)=1,f(2)=3,f′(2)=5f(0)=1,f(2)=3,f'(2)=5，求

∫01xf′′(2x) dx.\int_0^1xf''(2x)\,\mathrm dx.
  • A. 22　B. 66　C. 55　D. 11
查看答案

答案为 A。两次利用换元或分部积分：

∫01xf′′(2x) dx=12f′(2)−14[f(2)−f(0)]=2.\int_0^1xf''(2x)\,\mathrm dx =\frac12f'(2)-\frac14[f(2)-f(0)]=2.

2. 弧长

设

f(x)=∫−π/2xcos⁡t dt,f(x)=\int_{-\pi/2}^x\sqrt{\cos t}\,\mathrm dt,

求曲线 y=f(x)y=f(x) 在 [−π/2,π/2][-\pi/2,\pi/2] 上的弧长。

  • A. 11　B. ln⁡2\ln2　C. ln⁡3\ln3　D. 44
查看答案

答案为 D。弧长元为 1+f′2(x) dx=1+cos⁡x dx=2cos⁡(x/2) dx\sqrt{1+f'^2(x)}\,\mathrm dx=\sqrt{1+\cos x}\,\mathrm dx =\sqrt2\cos(x/2)\,\mathrm dx，积分得 44。

3. 广义积分

下列广义积分中收敛的是：

  • A. ∫0+∞dxx+1\displaystyle\int_0^{+\infty}\frac{\mathrm dx}{\sqrt{x+1}}
  • B. ∫−∞+∞x dx1+x2\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{x\,\mathrm dx}{1+x^2}
  • C. ∫1+∞dxx1+x\displaystyle\int_1^{+\infty}\frac{\mathrm dx}{x\sqrt{1+x}}
  • D. ∫01dxx3\displaystyle\int_0^1\frac{\mathrm dx}{\sqrt{x^3}}
查看答案

答案为 C。其在无穷远处等价于 x−3/2x^{-3/2}；其余各项分别在无穷远或零点发散。

4. 曲率

曲线

y=a2(ex/a+e−x/a),a>0y=\frac a2\left(e^{x/a}+e^{-x/a}\right),\qquad a>0

在 x=0x=0 处的曲率为：

  • A. 2a\sqrt2a　B. 2a2a　C. 1/a1/a　D. 00
查看答案

答案为 C。在 x=0x=0 处 y′=0,y′′=1/ay'=0,y''=1/a，所以 k=∣y′′∣/(1+y′2)3/2=1/ak=|y''|/(1+y'^2)^{3/2}=1/a。

5. 两重变上限积分

设

f(u)=∫0ucos⁡((u−t)2) dt,F(x)=∫0xf(u) du.f(u)=\int_0^u\cos\bigl((u-t)^2\bigr)\,\mathrm dt, \qquad F(x)=\int_0^xf(u)\,\mathrm du.

求 F′′(x)F''(x)。

  • A. ∫0xcos⁡((u−t)2) dt\int_0^x\cos((u-t)^2)\,\mathrm dt
  • B. cos⁡x2\cos x^2
  • C. −cos⁡x2-\cos x^2
  • D. 11
查看答案

答案为 B。换元可得 f(u)=∫0ucos⁡s2 dsf(u)=\int_0^u\cos s^2\,\mathrm ds，故 F′′(x)=f′(x)=cos⁡x2F''(x)=f'(x)=\cos x^2。

6. 可积性与广义积分

下列叙述正确的是：

  • A. [a,b][a,b] 上的单调递增函数在 [a,b][a,b] 上可积
  • B. [a,b][a,b] 上可积的函数必有原函数
  • C. ∫0+∞f(x) dx\int_0^{+\infty}f(x)\,\mathrm dx 收敛必推出 f(x)→0f(x)\to0
  • D. 若 ∫0Af\int_0^Af 对所有 AA 有界且 g(x)→0g(x)\to0，则 ∫0+∞fg\int_0^{+\infty}fg 必收敛
查看答案

答案为 A。B、C 均有反例；D 还缺少 gg 单调等 Dirichlet 判别条件。

二、计算题（每题 6 分，共 18 分）

1. 不定积分

计算 ∫xarctan⁡x dx\int x\arctan x\,\mathrm dx。

查看答案 ∫xarctan⁡x dx=x2+12arctan⁡x−x2+C.\int x\arctan x\,\mathrm dx =\frac{x^2+1}{2}\arctan x-\frac x2+C.

2. 定积分

计算

∫02dx1+ex.\int_0^2\frac{\mathrm dx}{1+e^x}.
查看答案

一个原函数是 x−ln⁡(1+ex)x-\ln(1+e^x)，故结果为

2+ln⁡21+e2.2+\ln\frac2{1+e^2}.

3. 奇偶性与换元

计算

∫−11(sin⁡2019x+x2020)cos⁡(x2021) dx.\int_{-1}^1\left(\sin^{2019}x+x^{2020}\right) \cos(x^{2021})\,\mathrm dx.
查看答案

第一项为奇函数，积分为零。第二项令 u=x2021u=x^{2021}，得到

12021∫−11cos⁡u du=2sin⁡12021.\frac1{2021}\int_{-1}^1\cos u\,\mathrm du =\frac{2\sin1}{2021}.

三、计算证明题（每题 6 分，共 18 分）

1. 瑕积分

指出

∫01dx(2−x)1−x\int_0^1\frac{\mathrm dx}{(2-x)\sqrt{1-x}}

的瑕点并求积分值。

查看答案

瑕点为 x=1x=1。令 t=1−xt=\sqrt{1-x}，则

∫01dx(2−x)1−x=2∫01dt1+t2=π2.\int_0^1\frac{\mathrm dx}{(2-x)\sqrt{1-x}} =2\int_0^1\frac{\mathrm dt}{1+t^2}=\frac\pi2.

2. 一阶线性微分方程

求

y′−2x+1y=(x+1)2y'-\frac{2}{x+1}y=(x+1)^2

的通解。

查看答案

积分因子为 (x+1)−2(x+1)^{-2}，从而

(y(x+1)2)′=1.\left(\frac{y}{(x+1)^2}\right)'=1.

因此

y=(x+1)2(x+C).y=(x+1)^2(x+C).

3. 含参积分极限

求

lim⁡n→∞∫01xn1+x2 dx.\lim_{n\to\infty}\int_0^1\frac{x^n}{1+x^2}\,\mathrm dx.
查看答案

在 [0,1][0,1] 上有

0≤xn1+x2≤xn,0\le\frac{x^n}{1+x^2}\le x^n,

右侧积分为 1/(n+1)→01/(n+1)\to0，故由夹逼定理，原极限为 00。

四、二阶微分方程（8 分）

求

y′′−y′−2y=(1−2x)exy''-y'-2y=(1-2x)e^x

的通解。

查看答案

特征根为 −1,2-1,2，故 yh=C1e−x+C2e2xy_h=C_1e^{-x}+C_2e^{2x}。设 yp=(Ax+B)exy_p=(Ax+B)e^x，代回得 A=1,B=0A=1,B=0。所以

y=C1e−x+C2e2x+xex.y=C_1e^{-x}+C_2e^{2x}+xe^x.

五、环面体积与表面积（12 分）

圆盘

(x−b)2+y2≤a2,0<a<b(x-b)^2+y^2\le a^2, \qquad 0<a<b

绕 yy 轴旋转一周，求所得旋转体的体积和表面积。

查看答案

以 yy 为变量，外、内半径分别为 b+a2−y2b+\sqrt{a^2-y^2} 与 b−a2−y2b-\sqrt{a^2-y^2}。因此

V=π∫−aa[(b+a2−y2)2−(b−a2−y2)2]dy=2π2a2b.V=\pi\int_{-a}^a \left[(b+\sqrt{a^2-y^2})^2-(b-\sqrt{a^2-y^2})^2\right]\mathrm dy =2\pi^2a^2b.

同理对内外两张旋转曲面求和，得

S=4π2ab.S=4\pi^2ab.

六、带参数的广义积分（10 分）

设 p>0p>0，讨论

∫1+∞esin⁡xcos⁡xxp(1+1x)xdx\int_1^{+\infty} \frac{e^{\sin x}\cos x}{x^p} \left(1+\frac1x\right)^x\mathrm dx

何时绝对收敛、何时条件收敛。

查看答案

因 esin⁡xe^{\sin x} 与 (1+1/x)x(1+1/x)^x 在 [1,+∞)[1,+\infty) 上有统一正的上下界：

  • p>1p>1 时与 1/xp1/x^p 比较，绝对收敛；
  • 0<p≤10<p\le1 时，esin⁡xcos⁡x=(esin⁡x)′e^{\sin x}\cos x=(e^{\sin x})'，其原函数有界；再用 Dirichlet 与 Abel 判别法可得积分收敛，但绝对值积分因与 ∣cos⁡x∣/xp|\cos x|/x^p 同阶而发散。

所以 0<p≤10<p\le1 时条件收敛。

七、Riemann 可积与黎曼和（每题 5 分）

1. 连续函数可积

设 ff 是 [a,b][a,b] 上的连续函数，证明 ff 在 [a,b][a,b] 上 Riemann 可积。

查看答案

闭区间上的连续函数一致连续。给定 ε>0\varepsilon>0，选择足够细的分割，使每个小区间上函数振幅都小于 ε/(b−a)\varepsilon/(b-a)，则 Darboux 振幅和小于 ε\varepsilon，故 ff 可积。

2. 黎曼和

求

lim⁡n→∞1n∑k=1n(1+kn)sin⁡2kπn.\lim_{n\to\infty}\frac1n\sum_{k=1}^n \left(1+\frac kn\right)\sin^2\frac{k\pi}{n}.
查看答案

这是积分

∫01(1+x)sin⁡2(πx) dx.\int_0^1(1+x)\sin^2(\pi x)\,\mathrm dx.

利用关于 x=1/2x=1/2 的对称性， ∫01sin⁡2(πx) dx=1/2\int_0^1\sin^2(\pi x)\,\mathrm dx=1/2、 ∫01xsin⁡2(πx) dx=1/4\int_0^1x\sin^2(\pi x)\,\mathrm dx=1/4，故结果为 3/43/4。

评论