第一讲 · 数制与数据表示 | L.D.J 的私家工坊

对应材料：2025 计组复习提纲“数制：数据的表示”，并参考课程概述中关于抽象层次的说明。

计算机里并没有一个天然的“整数”或“小数”。硬件真正保存的只有一串高低电平；我们先约定一种编码规则，再按这条规则解释比特。于是，同一个 11111111 可以是无符号数 $255$ 、补码整数 $-1$ ，也可以只是一个字节的数据。

这一讲要解决的核心问题不是“背编码”，而是：给定有限位数，怎样表示数、怎样运算、什么时候会失真。

1. 位权：所有进位制都在做同一件事

在基数为 $r$ 的进位制中，

(d_nd_{n-1}\cdots d_0.d_{-1}d_{-2}\cdots)_r =\sum_i d_i r^i, \qquad 0\le d_i<r.

例如：

(101101.011)_2 =1\times2^5+1\times2^3+1\times2^2+1\times2^0 +1\times2^{-2}+1\times2^{-3} =45.375.

1.1 十进制整数转二进制

不断“除以 2 取余”，余数从后往前写。以 $45$ 为例：

45 ÷ 2 = 22 ... 1
22 ÷ 2 = 11 ... 0
11 ÷ 2 =  5 ... 1
 5 ÷ 2 =  2 ... 1
 2 ÷ 2 =  1 ... 0
 1 ÷ 2 =  0 ... 1

因此 $45=(101101)_2$ 。

1.2 十进制小数转二进制

不断“乘 2 取整数部分”，整数部分按出现顺序写。以 $0.375$ 为例：

0.375 × 2 = 0.75  → 0
0.75  × 2 = 1.5   → 1
0.5   × 2 = 1.0   → 1

所以 $0.375=(0.011)_2$ 。

1.3 二进制、八进制、十六进制快速互转

每 3 位二进制对应 1 位八进制；
每 4 位二进制对应 1 位十六进制；
分组从小数点向两边展开，不足位补 0。

例如：

(1101\ 1010\ 0111)_2=(\mathrm{DA7})_{16}.

十六进制只是二进制的紧凑写法，并没有改变底层比特。

2. 无符号数：所有位都贡献数值

$n$ 位无符号数的范围是

0\le x\le 2^n-1.

例如 8 位无符号数的范围是 $0\sim255$ 。加法只保留低 $n$ 位，本质上是在模 $2^n$ 的环上运算：

250+10=260\equiv4\pmod{256}.

硬件得到 00000100；如果程序把它解释为普通自然数，就发生了无符号溢出。

3. 有符号整数：为什么最终选择补码

3.1 原码、反码、补码

设机器字长为 $n$ 。对正数，三种编码相同；对负数：

原码：最高位表示符号，其余位表示绝对值；
反码：对应正数编码逐位取反；
补码：反码加 1。

8 位编码中， $+5$ 与 $-5$ 为：

表示	$+5$	$-5$
原码	`00000101`	`10000101`
反码	`00000101`	`11111010`
补码	`00000101`	`11111011`

若总位宽为 $n$ ：

编码	可表示范围	零的个数
原码	$-(2^{n-1}-1)\sim 2^{n-1}-1$	2
反码	$-(2^{n-1}-1)\sim 2^{n-1}-1$	2
补码	$-2^{n-1}\sim 2^{n-1}-1$	1

原码和反码都有 +0、-0 两个零，而且加减时需要单独处理符号。补码把正负数统一放进模 $2^n$ 运算：

-x\equiv 2^n-x\pmod{2^n}.

于是，同一套加法器也能做减法：

A-B=A+(-B)=A+(\overline B+1).

这就是硬件偏爱补码的根本原因，不只是“计算规则方便背”。

3.2 补码的范围不对称

$n$ 位补码范围为

-2^{n-1}\le x\le 2^{n-1}-1.

8 位补码范围是 $-128\sim127$ 。负数一侧多出来的 10000000 表示 $-128$ ；它没有对应的 $+128$ 。所以对最小负数取相反数仍会溢出。

3.3 快速读补码

若最高位为 0，直接按无符号数读。若最高位为 1，可用两种方法：

逐位取反再加 1，所得绝对值前加负号；
最高位权看作 $-2^{n-1}$ ，其余位权照常相加。

例如：

(11111011)_2=-2^7+2^6+2^5+2^4+2^3+2^1+2^0=-5.

3.4 移码

移码给真值统一加一个偏置。若总位宽为 $n$ ，常用偏置 $2^{n-1}$ ：

[x]_{bias}=x+2^{n-1}.

它让编码按无符号数从小到大排列时，真实值也从负到正递增，特别适合比较阶码。IEEE 754 的指数也采用偏置思想；单精度使用 127 而非 128，并把全 0、全 1 阶码留给特殊值。

4. 溢出与进位不是同一件事

无符号运算看最高位的进位；有符号补码运算看结果是否超出有符号范围。加法中，两个同号数相加却得到异号结果，就是有符号溢出。

对最高位的输入进位 $C_{n-1}$ 与输出进位 $C_n$ ，也可写成

V=C_{n-1}\oplus C_n.

以 8 位为例：

01111111   (+127)
+00000001  (+1)
---------
10000000   (-128, 若按补码解释)

这里没有得到数学上的 $128$ ，而是发生有符号溢出。反过来，11111111 + 00000001 = 00000000 有最高位进位；按无符号数解释是溢出，按补码解释却是 $-1+1=0$ ，没有有符号溢出。

5. 定点数：小数点位置由约定决定

定点数并不真的保存小数点，而是约定它在固定位置。若一个 $n$ 位补码整数实际代表的值为 $X/2^f$ ，就称有 $f$ 个小数位。

例如 8 位编码 01100000：

按整数解释是 $96$ ；
若约定 7 个小数位，则是 $96/128=0.75$ 。

小数位越多，分辨率越高，但整数范围越小。这是固定总位宽下“范围与精度”的第一次权衡。

6. IEEE 754 单精度浮点数

32 位单精度分成三段：

字段	位数	含义
$S$	1	符号位
$E$	8	带偏置的阶码，偏置为 127
$M$	23	小数部分，规格化数默认有隐藏的前导 1

对 $1\le E\le254$ 的规格化数：

x=(-1)^S\times(1.M)_2\times2^{E-127}.

6.1 编码示例： $178.125$

178.125=(10110010.001)_2=(1.0110010001)_2\times2^7.

因此：

$S=0$ ；
$E=7+127=134=(10000110)_2$ ；
$M=0110010001000\cdots$ 。

最终编码为 0 10000110 01100100010000000000000，十六进制写作 0x43322000。

6.2 特殊值

阶码 $E$	尾数 $M$	含义
$0$	$0$	$+0$ 或 $-0$
$0$	非 0	非规格化数，填补靠近 0 的范围
$1\sim254$	任意	规格化数
$255$	$0$	$+\infty$ 或 $-\infty$
$255$	非 0	NaN，不是一个数

非规格化数没有隐藏的前导 1，其值为

(-1)^S\times(0.M)_2\times2^{-126}.

6.3 浮点数为什么会不精确

像十进制的 $0.2$ ，在二进制中是无限循环小数，只能截断到有限位。浮点数的间隔还会随数量级增大：同样是相邻可表示数，靠近 $2^{100}$ 时的间距远大于靠近 1 时的间距。

因此浮点数运算要牢记：

表示的是附近的一个可表示数，不一定是原实数；
加法通常不满足结合律；
直接判断两个计算结果“完全相等”可能不稳妥；
位数固定后，范围和精度仍然互相牵制。

7. 非数值数据也是编码

课件还把逻辑值、字符和汉字列为非数值数据：

布尔值通常用 0、1 表示假和真；
ASCII 用 7 位编码西文字符，例如字符 '0' 的编码不是数值 0；
汉字需要字符集与编码方案，编码本身不等于字形。

理解这一点很重要：内存里不存在“天然字符串”。只有当程序知道编码、长度和边界时，那串字节才会被解释成文本。

8. 一条统一的解题路线

面对任何“这一串比特是什么”的题，按顺序问：

位宽是多少？ 位宽决定模和范围。
按什么类型解释？ 无符号、补码、定点还是浮点。
小数点或字段边界在哪里？ 定点位置、IEEE 754 的 S/E/M 都是约定。
运算是否截断？ 硬件通常只保留固定宽度。
检查哪一种溢出？ 无符号进位与有符号溢出不能混用。

这五问会一直贯穿后面的 MIPS 指令、ALU、存储器和 Cache。

第一讲 · 数制与数据表示