2022–2023 学年第一学期期末 A 卷

试卷题面来自课程目录中的《2022–2023 学年第一学期〈数理统计〉期末考试 A 卷》，考试日期为 2022 年 12 月 21 日。源文件没有标准答案；折叠解析依据本课程课件逐题推导。

第 1 题（10 分）：样本均值与样本方差

设总体 $X$ 存在二阶矩，记

$$E(X)=\mu,\qquad \operatorname{Var}(X)=\sigma^2.$$

$X_1,\ldots,X_n$ 是样本，$\bar X$ 是样本均值，$S^2$ 是样本方差。

1. 证明 $E(\bar X)=\mu$，$\operatorname{Var}(\bar X)=\sigma^2/n$；
2. 证明 $E(S^2)=\sigma^2$。

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由期望线性性，

$$E(\bar X)=\frac1n\sum_iE(X_i)=\mu.$$

样本独立，故

$$\operatorname{Var}(\bar X) =\frac1{n^2}\sum_i\operatorname{Var}(X_i) =\frac{\sigma^2}{n}.$$

再用恒等式

$$\sum_i(X_i-\bar X)^2 =\sum_i(X_i-\mu)^2-n(\bar X-\mu)^2.$$

两边取期望：

$$E\sum_i(X_i-\bar X)^2 =n\sigma^2-n\frac{\sigma^2}{n} =(n-1)\sigma^2.$$

因此

$$E(S^2) =E\left[\frac1{n-1}\sum_i(X_i-\bar X)^2\right] =\sigma^2.$$

第 2 题（10 分）：几何分布样本的极值

设总体 $X$ 服从几何分布

$$P(X=k)=pq^{k-1},\qquad k=1,2,\ldots,$$

其中 $0<p<1$，$q=1-p$。$X_1,\ldots,X_n$ 为样本，求 $X_{(n)}$ 与 $X_{(1)}$ 的概率分布。

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因 $P(X\le k)=1-q^k$，

$$P(X_{(n)}\le k)=(1-q^k)^n,$$

所以

$$\boxed{ P(X_{(n)}=k) =(1-q^k)^n-(1-q^{k-1})^n }.$$

又因 $P(X\ge k)=q^{k-1}$，

$$P(X_{(1)}\ge k)=q^{n(k-1)}.$$

相邻尾概率之差给出

$$\boxed{ P(X_{(1)}=k) =(1-q^n)q^{n(k-1)} }.$$

第 3 题（10 分）：Laplace 分布的充分统计量

$X_1,\ldots,X_n$ 来自 Laplace 分布

$$p(x;\theta)=\frac1{2\theta}e^{-|x|/\theta}, \qquad \theta>0.$$

给出一个充分统计量。

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联合密度为

$$L(\theta;x) =(2\theta)^{-n} \exp\left(-\frac{\sum_i|x_i|}{\theta}\right).$$

它可写成只通过

$$T(X)=\sum_{i=1}^n|X_i|$$

依赖参数 $\theta$ 的部分，乘以与 $\theta$ 无关的 $h(x)=1$。由 Neyman–Fisher 因子分解定理，

$$\boxed{T=\sum_i|X_i|\text{ 是 }\theta\text{ 的充分统计量}}.$$

第 4 题（30 分）：指数分布的频率学与 Bayes 估计

$X_1,\ldots,X_n$ 来自指数分布

$$p(x;\theta)=\frac1\theta e^{-x/\theta}, \qquad x>0,\ \theta>0.$$

1. 求 $\theta$ 的矩估计与极大似然估计；
2. 求 $\theta$ 的 UMVUE；
3. 先验为逆 Gamma 分布

$$\pi(\theta)= \frac{\lambda^\alpha}{\Gamma(\alpha)} \theta^{-(\alpha+1)}e^{-\lambda/\theta},$$

求平方损失下的后验平均估计。

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因为 $E(X)=\theta$，矩估计为

$$\hat\theta_{\mathrm{MOM}}=\bar X.$$

对数似然

$$\ell(\theta) =-n\log\theta-\frac{\sum_i x_i}{\theta}.$$

求导并令其为零：

$$-\frac n\theta+\frac{\sum_i x_i}{\theta^2}=0,$$

故

$$\hat\theta_{\mathrm{MLE}}=\bar X.$$

令 $T=\sum_iX_i$。指数族中 $T$ 是 $\theta$ 的完备充分统计量，而 $T/n=\bar X$ 对 $\theta$ 无偏。由 Lehmann–Scheffé 定理，

$$\boxed{\hat\theta_{\mathrm{UMVUE}}=\bar X}.$$

似然与先验相乘：

$$\pi(\theta\mid x)\propto \theta^{-(\alpha+n+1)} \exp\left[-\frac{\lambda+\sum_i x_i}{\theta}\right].$$

所以

$$\theta\mid x\sim IG\left(\alpha+n,\lambda+\sum_i x_i\right).$$

若 $\alpha+n>1$，后验均值为

$$\boxed{ \hat\theta_B =E(\theta\mid x) =\frac{\lambda+\sum_i x_i}{\alpha+n-1} }.$$

第 5 题（15 分）：两个正态总体

两个总体独立，

$$X\sim N(\mu_1,\sigma_1^2),\qquad Y\sim N(\mu_2,\sigma_2^2),$$

参数均未知。容量为 $n_1,n_2$ 的两组样本分别来自 $X,Y$，显著性水平为 $\alpha$。

1. 求 $\sigma_1^2/\sigma_2^2$ 的置信度 $1-\alpha$ 的置信区间；
2. 若 $\sigma_1^2=\sigma_2^2=\sigma^2$ 未知，求

$$H_0:\mu_1=\mu_2 \quad\text{vs}\quad H_1:\mu_1\ne\mu_2$$

的拒绝域。

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由两个样本方差的独立性，

$$\frac{S_1^2/\sigma_1^2}{S_2^2/\sigma_2^2} \sim F(n_1-1,n_2-1).$$

因此

$$\boxed{ \frac{\sigma_1^2}{\sigma_2^2}\in \left[ \frac{S_1^2/S_2^2} {F_{1-\alpha/2}(n_1-1,n_2-1)}, \frac{S_1^2/S_2^2} {F_{\alpha/2}(n_1-1,n_2-1)} \right] }.$$

等方差未知时，合并方差为

$$S_p^2= \frac{(n_1-1)S_1^2+(n_2-1)S_2^2} {n_1+n_2-2}.$$

在 $H_0$ 下

$$T= \frac{\bar X-\bar Y} {S_p\sqrt{1/n_1+1/n_2}} \sim t(n_1+n_2-2).$$

双侧拒绝域是

$$\boxed{ |T|>t_{1-\alpha/2}(n_1+n_2-2) }.$$

第 6 题（10 分）：正态方差的似然比检验

$X_1,\ldots,X_n$ 来自 $N(\mu,\sigma^2)$，求

$$H_0:\sigma^2=\sigma_0^2 \quad\text{vs}\quad H_1:\sigma^2\ne\sigma_0^2$$

的水平 $\alpha$ 似然比检验。

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完整参数空间下，

$$\hat\mu=\bar X,\qquad \hat\sigma^2=\frac1n\sum_i(X_i-\bar X)^2.$$

在 $H_0$ 下，$\hat\mu_0=\bar X$。记

$$Q=\frac{\sum_i(X_i-\bar X)^2}{\sigma_0^2} =\frac{(n-1)S^2}{\sigma_0^2}.$$

似然比为

$$\Lambda =\frac{\sup_{\mu}L(\mu,\sigma_0^2)} {\sup_{\mu,\sigma^2}L(\mu,\sigma^2)} =\left(\frac Qn\right)^{n/2} \exp\left(\frac{n-Q}{2}\right).$$

$\Lambda$ 在 $Q=n$ 附近最大，$Q$ 过小或过大时都变小。因此拒绝域为

$$\boxed{Q<c_1\quad\text{或}\quad Q>c_2}.$$

在 $H_0$ 下 $Q\sim\chi^2(n-1)$。严格的似然比检验临界值满足

$$P_{H_0}(Q<c_1)+P_{H_0}(Q>c_2)=\alpha$$

以及同一似然比边界

$$\left(\frac {c_1}n\right)^{n/2}e^{(n-c_1)/2} = \left(\frac {c_2}n\right)^{n/2}e^{(n-c_2)/2}.$$

若课程按常用等尾双侧卡方检验写，也可取

$$c_1=\chi^2_{\alpha/2}(n-1),\qquad c_2=\chi^2_{1-\alpha/2}(n-1),$$

它同样是水平 $\alpha$ 的标准双侧方差检验；严格 LR 的两端尾概率一般不必恰好相等。

第 7 题（15 分）：单因子方差分析

写出重复次数相等的单因子方差分析：

1. 统计模型、原假设与备择假设；
2. 证明总平方和分解为因子平方和与误差平方和；
3. 写出检验统计量、自由度及分布；
4. 写出 Hartley 检验统计量及构造原理。

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设有 $r$ 个因子水平，每个水平重复 $m$ 次：

$$X_{ij}=\mu+\alpha_i+\varepsilon_{ij}, \quad \varepsilon_{ij}\overset{\text{i.i.d.}}\sim N(0,\sigma^2),$$

并加约束 $\sum_i\alpha_i=0$。检验

$$H_0:\alpha_1=\cdots=\alpha_r=0$$

对备择“至少一个 $\alpha_i\ne0$”。

记组均值 $\bar X_{i\cdot}$、总均值 $\bar X_{\cdot\cdot}$。由

$$X_{ij}-\bar X_{\cdot\cdot} =(\bar X_{i\cdot}-\bar X_{\cdot\cdot}) +(X_{ij}-\bar X_{i\cdot}),$$

平方求和；交叉项因每组残差和为零而消失，故

$$SS_T=SS_A+SS_E,$$ $$SS_A=m\sum_i (\bar X_{i\cdot}-\bar X_{\cdot\cdot})^2,$$ $$SS_E=\sum_i\sum_j (X_{ij}-\bar X_{i\cdot})^2.$$

相应自由度为

$$rm-1=(r-1)+r(m-1).$$

在 $H_0$ 下

$$\boxed{ F=\frac{SS_A/(r-1)} {SS_E/[r(m-1)]} \sim F(r-1,r(m-1)) }.$$

若 $F>F_{1-\alpha}(r-1,r(m-1))$，拒绝 $H_0$。

Hartley 检验用于检查各组方差齐性，且要求各组重复次数相等。统计量为

$$\boxed{ H=\frac{\max_i S_i^2}{\min_i S_i^2} }.$$

构造思想是：若各组方差相同，独立样本方差都在估计同一个 $\sigma^2$，最大值与最小值不应相差过大；比值过大则拒绝方差齐性。

附加题（10 分）：学生化残差

$X_1,\ldots,X_n$ 独立同分布于 $N(\mu,\sigma^2)$，

$$\bar X=\frac1n\sum_iX_i,\qquad S^2=\frac1{n-1}\sum_i(X_i-\bar X)^2.$$

记 $\xi=(X_1-\bar X)/S$，找出 $\xi$ 与 $t$ 分布的联系。

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作题目提示的正交变换：

$$Y_1=\sqrt n\,\bar X,\qquad Y_2=\sqrt{\frac n{n-1}}(X_1-\bar X),$$

并补齐 $Y_3,\ldots,Y_n$。这些正交坐标独立，且

$$\frac{Y_2}{\sigma}\sim N(0,1),\qquad \frac{\sum_{i=3}^nY_i^2}{\sigma^2}\sim\chi^2(n-2).$$

于是

$$T= \frac{Y_2/\sigma} {\sqrt{\sum_{i=3}^nY_i^2/[(n-2)\sigma^2]}} \sim t(n-2).$$

再由

$$(n-1)S^2=Y_2^2+\sum_{i=3}^nY_i^2$$

消元，得到

$$\boxed{ \xi= \frac{(n-1)T} {\sqrt{n(n-2+T^2)}}, \qquad T\sim t(n-2) }.$$