2006–2007 学年第一学期期末真题

#真题

源 PDF 的文件名写成“2005–2006”，但卷面清楚标注“2006–2007 学年第一学期”和 2007 年 1 月 24 日；我以卷面为准。源目录中的同名长 JPG 是这份卷子的重复拼接版，没有另算一卷。

源文件没有官方答案。第四题按卷面原样转写后可以构造反例，解析中会如实说明，不把疑似笔误静默改成另一道题。

一、解微分方程（40 分）

1. y′=x(1+y2)y'=x(1+y^2)

查看答案 arctan⁡y=x22+C.\arctan y=\frac{x^2}{2}+C.

2. y′=(x+y−1)/(2x−y+1)y'=(x+y-1)/(2x-y+1)

查看答案

令 X=xX=x、Y=y−1Y=y-1、v=Y/Xv=Y/X，可得

−12ln⁡(v2−v+1)+3arctan⁡2v−13=ln⁡∣X∣+C.-\frac12\ln(v^2-v+1) +\sqrt3\arctan\frac{2v-1}{\sqrt3} =\ln|X|+C.

3. y=(y′)2−xy′+x2/2+1y=(y')^2-xy'+x^2/2+1

查看答案

一般解与奇解为

y=x22+Cx+C2+1,y=\frac{x^2}{2}+Cx+C^2+1, y=x24+1.y=\frac{x^2}{4}+1.

4. 4xy′′=4y′+(y′′)24xy''=4y'+(y'')^2

查看答案

令 p=y′p=y'、q=p′=y′′q=p'=y''，则 p=xq−q2/4p=xq-q^2/4。求导后分成 q′=0q'=0 和 q=2xq=2x 两支：

y=C2x2−C24x+C1,y=\frac C2x^2-\frac{C^2}{4}x+C_1,

以及

y=x33+C1.y=\frac{x^3}{3}+C_1.

5. xdy+(2xy−e−2x)dx=0xdy+(2xy-e^{-2x})dx=0

查看答案

积分因子为 e2x/xe^{2x}/x，通解为

e2xy−ln⁡∣x∣=C.e^{2x}y-\ln|x|=C.

二、高阶线性方程（15 分）

求

y′′′−y′′+y′−y=3x+3ex.y'''-y''+y'-y=3x+3e^x.
查看答案

特征多项式是 (r−1)(r2+1)(r-1)(r^2+1)。分别处理多项式和与 exe^x 的共振项，得

y=C1ex+C2cos⁡x+C3sin⁡x−3x−3+32xex.y=C_1e^x+C_2\cos x+C_3\sin x -3x-3+\frac32xe^x.

三、线性系统与相图（15 分）

求 x′=−x−2y, y′=x−4yx'=-x-2y,\ y'=x-4y 的通解，判断奇点类型并作相图。

查看答案 (xy)=C1e−2t(21)+C2e−3t(11).\binom{x}{y} =C_1e^{-2t}\binom21+C_2e^{-3t}\binom11.

原点是稳定结点。两条特征直线都是相轨线，一般轨线最终沿较慢的 λ=−2\lambda=-2 方向进入原点。

四、卷面中的全局存在命题（10 分）

卷面要求证明：对任意 x0x_0 和 −1<y0<1-1<y_0<1，

y′=(1−x2)exy2,y(x0)=y0y'=(1-x^2)e^{xy^2},\qquad y(x_0)=y_0

存在唯一全局解。

查看答案与题面核对

按卷面原式，这个命题不成立。例如取 x0=2,y0=0x_0=2,y_0=0，并令 z=−yz=-y。只要解存在且 x≥2x\ge2，就有

z′=(x2−1)exz2≥3e2z2.z'=(x^2-1)e^{xz^2}\ge3e^{2z^2}.

于是

∫0z(x)e−2u2du≥3(x−2).\int_0^{z(x)}e^{-2u^2}du\ge3(x-2).

但左侧即使让 z→+∞z\to+\infty 也只有有限上界 π/(22)\sqrt\pi/(2\sqrt2)，因此解必在有限时刻逃向负无穷，不可能全局存在。

这很可能是卷面把后来试卷中常见的 (1−y2)exy2(1-y^2)e^{xy^2} 误写成了 (1−x2)exy2(1-x^2)e^{xy^2}。这里保留原题并给出反例，不擅自替老师改题。

五、非线性系统的零解稳定性（10 分）

当 aa 取何值时，

{x′=−y+x3,y′=x+ay+xy2\begin{cases} x'=-y+x^3,\\ y'=x+ay+xy^2 \end{cases}

的零解渐近稳定或不稳定？

查看答案

线性化矩阵为

(0−11a).\begin{pmatrix}0&-1\\1&a\end{pmatrix}.
  • a<0a<0 时两个特征值实部为负，原点局部渐近稳定；
  • a>0a>0 时特征值实部为正，原点不稳定；
  • a=0a=0 时线性化是中心，需要看高阶项。用极坐标作一周的 Poincaré 映射，可得半径增量
Δr=3π4r3+O(r5)>0,\Delta r=\frac{3\pi}{4}r^3+O(r^5)>0,

所以原点仍不稳定。

综上，a<0a<0 渐近稳定，a≥0a\ge0 不稳定。

六、能否构成基本解组（10 分）

函数

y1=x2+1,y2=x2sin⁡x,y3=(x+1)cos⁡xy_1=x^2+1,\qquad y_2=x^2\sin x,\qquad y_3=(x+1)\cos x

能否构成某三阶线性方程的基本解组？

查看答案

按卷面通常默认的共同区间 R\mathbb R 来理解，不能。y2=x2sin⁡xy_2=x^2\sin x 在 x=0x=0 满足

y2(0)=y2′(0)=y2′′(0)=0,y_2(0)=y_2'(0)=y_2''(0)=0,

所以三阶 Wronski 行列式在 x=0x=0 的第二列全为零。连续系数方程的基本解组，其 Wronski 行列式不能在共同区间内某一点单独变为零。

严格地说，这个论证排除的是所有包含 00 的区间；如果题目允许把定义区间任意缩到不含 00 的小区间，就还需要在那个区间重新检查 Wronski 行列式。卷面没有另行指定区间，因此采用课程里默认的全实轴解释。

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