速成 · 微分方程 | L.D.J 的私家工坊

微分方程不是“见到导数就积分”，而是根据方程结构选择能保留下来的量、合适的变量和解空间。考试最重要的能力是：先分类，再动手。

先按方程分类

模块	要解决的问题	主要工具
一阶显式方程	$y'=f(x,y)$ 能否化成标准类型？	变量分离、线性方程、Bernoulli、恰当方程、积分因子
一阶隐式方程	方程没有直接解出 $y'$ 怎么办？	令 $p=y'$ 、Clairaut、参数法、可解出 $x$ 或 $y$
高阶线性方程	如何描述全部解，而不只找一个解？	Wronski 行列式、特征方程、待定系数、常数变易
Laplace 变换	初值、分段输入和冲激怎样一次处理？	导数变换、部分分式、卷积、移位
线性方程组	多个状态量联立变化怎么解？	基解矩阵、矩阵指数、特征向量、Jordan 链
定性理论	不求显式解，能否保证解存在、唯一、可延拓？	方向场、Picard 迭代、Lipschitz、比较定理、连续依赖

拿到 $y'=f(x,y)$ ，按下面顺序试：

分离变量时，除以 $Y(y)$ 之前先检查 $Y(y)=0$ 是否给出常值解；否则会把解丢掉。

一阶线性方程的积分因子

\mu(x)=e^{\int p(x)dx}

把左边变成 $(\mu y)'$ ：

y=e^{-\int p dx} \left(C+\int q(x)e^{\int p dx}dx\right).

恰当方程 $Mdx+Ndy=0$ 对应一个势函数 $F$ ：

F_x=M,\qquad F_y=N,\qquad F(x,y)=C.

标准形式

y^{(n)}+a_1(x)y^{(n-1)}+\cdots+a_n(x)y=f(x).

齐次方程的解构成 $n$ 维线性空间。找齐 $n$ 个线性无关解 $y_1,\dots,y_n$ 后，

y_h=C_1y_1+\cdots+C_ny_n.

非齐次通解是

y=y_h+y_p.

常系数齐次方程用特征多项式。根 $r=\alpha\pm i\beta$ 、重数 $m$ 对应

e^{\alpha x}x^k\cos\beta x,\quad e^{\alpha x}x^k\sin\beta x,\qquad k=0,\dots,m-1.

待定系数法只适用于多项式、指数、正弦余弦及其有限组合。试探式若与齐次解重合，要乘足够高次的 $x$ 消除共振。一般右端则用常数变易法。

\mathcal L\{f(t)\}=F(s)=\int_0^\infty e^{-st}f(t)dt.

导数公式自动带入初值：

\mathcal L\{y^{(n)}\} =s^nY-s^{n-1}y(0)-\cdots-y^{(n-1)}(0).

因此流程是：对方程整体变换，代初值，代数求 $Y(s)$ ，部分分式，再逆变换。分段输入优先写成 Heaviside 阶跃函数；卷积对应变换域乘法。

\mathbf x'=A(t)\mathbf x+\mathbf f(t).

齐次组的基解矩阵 $\Phi$ 满足

\Phi'=A\Phi,\qquad \det\Phi\ne0.

非齐次组通解为

\mathbf x(t)=\Phi(t) \left[ \mathbf c+\int_{t_0}^{t}\Phi^{-1}(\tau)\mathbf f(\tau)d\tau \right].

常系数时 $\Phi=e^{At}$ 。若 $A$ 可对角化， $e^{At}=Pe^{\Lambda t}P^{-1}$ ；不可对角化则用 Jordan 块，块中的幂零部分会产生 $t,t^2/2!,\dots$ 因子。

对初值问题

y'=f(x,y),\qquad y(x_0)=y_0,

$f$ 连续通常保证局部存在；对 $y$ 满足局部 Lipschitz 条件进一步保证局部唯一。 $f_y$ 连续是常用的 Lipschitz 充分条件。

区别必须说清：