速成 · 信号与系统 | L.D.J 的私家工坊

所有公式都可以放回同一张“输入—系统—输出”图里。复习时首先问：输入经过系统以后，输出是什么？ 然后再决定在哪个域里计算最省事。

同一件事可以从三种坐标系看：

时域：直接观察信号随时间怎样变化；
频域：把信号拆成不同频率的复指数，观察系统对每个频率怎样缩放和移相；
复频域：在频率之外再加入指数增长或衰减，使更多信号和微分/差分方程可以被代数化处理。

主线是“信号表示与运算 → LTI 系统 → 连续域的傅里叶/拉普拉斯 → 离散域的 DTFT/z/DFT”。每种变换都在做同一件事：换一组更适合分析系统的基函数。

1. 先认清信号

连续信号写作 $x(t)$ ，离散序列写作 $x[n]$ 。最常见的基本信号是指数、正弦、阶跃和冲激，以及它们的离散版本。

冲激的筛选性质必须熟：

\int_{-\infty}^{\infty}x(t)\delta(t-t_0)\,dt=x(t_0),

\sum_{k=-\infty}^{\infty}x[k]\delta[n-k]=x[n].

信号变换按“先改自变量，再算函数值”理解：

$x(t-t_0)$ ：右移 $t_0$ ；
$x(-t)$ ：时间反转；
$x(at)$ ： $|a|>1$ 压缩， $0<|a|<1$ 扩展，再看 $a$ 是否为负决定反转。

2. LTI 系统只需要冲激响应

系统若同时线性、时不变，就由冲激响应 $h$ 完全决定：

y(t)=x(t)*h(t) =\int_{-\infty}^{\infty}x(\tau)h(t-\tau)\,d\tau,

y[n]=x[n]*h[n] =\sum_{k=-\infty}^{\infty}x[k]h[n-k].

卷积图解四步：翻转一个函数、平移、相乘、对重叠区积分或求和。

因果 LTI 系统要求 $h(t)=0$ （ $t<0$ ）或 $h[n]=0$ （ $n<0$ ）；BIBO 稳定要求冲激响应绝对可积或绝对可和。

3. 傅里叶级数：周期信号的离散频谱

周期 $T_0$ 、基频 $\omega_0=2\pi/T_0$ 的信号写成

x(t)=\sum_{k=-\infty}^{\infty}C_ke^{jk\omega_0t},

C_k=\frac1{T_0}\int_{t_0}^{t_0+T_0} x(t)e^{-jk\omega_0t}\,dt.

实偶信号只有实偶系数，实奇信号只有纯虚奇系数。频谱只出现在整数倍基频上，所以是离散谱。

有限项逼近来自正交投影。不连续点附近会出现 Gibbs 现象：增加项数会让振荡区域变窄，但峰值不会完全消失。

4. 连续时间傅里叶变换

X(j\omega)=\int_{-\infty}^{\infty} x(t)e^{-j\omega t}\,dt,

x(t)=\frac1{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} X(j\omega)e^{j\omega t}\,d\omega.

考试常靠性质：

时域	频域
$x(t-t_0)$	$e^{-j\omega t_0}X(j\omega)$
$x(at)$	$\frac1{\lvert a\rvert}X(j\omega/a)$
$e^{j\omega_0t}x(t)$	$X(j(\omega-\omega_0))$
$x'(t)$	$j\omega X(j\omega)$
$x*h$	$XH$
$xh$	$\frac1{2\pi}X*H$

周期信号的傅里叶变换是冲激串：

X(j\omega)=2\pi\sum_k C_k\delta(\omega-k\omega_0).

5. 拉普拉斯与 z 变换：答案必须带 ROC

双边拉普拉斯变换

X(s)=\int_{-\infty}^{\infty}x(t)e^{-st}\,dt

和双边 z 变换

X(z)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}x[n]z^{-n}

都不能只写代数式，还要写收敛域 ROC。同一个有理式，ROC 不同会对应右边、左边或双边信号。

对因果有理系统，ROC 在最外极点之外；稳定要求 ROC 包含 $j\omega$ 轴或单位圆。因果且稳定意味着所有极点在左半平面或单位圆内。

单边变换会把初始条件带入导数或移位公式，适合求完整响应；双边变换更适合讨论信号与系统性质。

6. 离散频域的三个对象

DTFT：

X(e^{j\Omega})=\sum_{n=-\infty}^{\infty} x[n]e^{-j\Omega n},

频率连续且以 $2\pi$ 为周期。

$N$ 点 DFT：

X[k]=\sum_{n=0}^{N-1}x[n]e^{-j2\pi kn/N},

是 DTFT 在 $N$ 个等间隔频率上的采样，也等价于周期延拓序列的傅里叶级数系数。

DFT 中相乘对应循环卷积。想用 DFT 算长度分别为 $L,M$ 的线性卷积，至少补零到

N\ge L+M-1.

7. 二维 DFT 如何读图像频谱

对 $M\times N$ 的图像 $x[m,n]$ ，二维 DFT 为

X[k,l]=\sum_{m=0}^{M-1}\sum_{n=0}^{N-1} x[m,n]e^{-j2\pi(km/M+ln/N)}.

它可以理解为先沿行做一维 DFT，再沿列做一维 DFT。把零频移到图像中心后，中心附近的低频描述平均亮度和大尺度轮廓，远离中心的高频更多对应边缘、纹理和噪声。

频谱不只有幅度。幅度回答“每种空间频率有多少”，相位保留“这些结构出现在哪里”；只保留幅度而丢掉相位，通常无法重建出清晰的原图。图像频域滤波就是修改 $X[k,l]$ 后再做二维逆 DFT：低通会平滑，高通会突出边缘，但硬截断也容易产生振铃。

8. FIR 与 IIR 的区别

一般离散滤波器可写成

y[n]=\sum_{k=0}^{M}b_kx[n-k] -\sum_{k=1}^{N}a_ky[n-k],

系统函数为

H(z)=\frac{\sum_{k=0}^{M}b_kz^{-k}} {1+\sum_{k=1}^{N}a_kz^{-k}}.

FIR 没有反馈项，冲激响应长度有限；有限系数时天然稳定，也容易设计严格线性相位，但达到同样陡峭的过渡带往往需要更高阶数。
IIR 使用过去输出反馈，冲激响应一般无限长；较低阶就能实现较尖锐的频率选择，但必须检查极点是否位于单位圆内，且相位通常不是线性的。

看到差分方程时，先看有没有 $y[n-k]$ ：没有反馈通常是 FIR，有反馈通常是 IIR。再由 $H(z)$ 的极点判断稳定性，不要只凭“阶数低”猜。

9. 采样为什么会混叠

连续信号以周期 $T_s$ 采样后，频谱会按采样角频率 $\omega_s=2\pi/T_s$ 周期复制。若原信号带限到 $|\omega|\le\omega_m$ ，无混叠重建要求

\omega_s>2\omega_m.

违反条件时，不同频谱副本重叠，采样后再也无法仅凭离散样本分开。采样前的抗混叠低通滤波器不是可选装饰。

考场解题顺序

明确连续还是离散、周期还是非周期；
判断系统是否 LTI，若是就找 $h$ ；
时域卷积太难时切到傅里叶、拉普拉斯或 z 域；
有理变换一定标 ROC，有初始条件时确认使用单边还是双边；
由零极点判断因果、稳定与频率响应；
DFT 题先分清线性卷积和循环卷积；
变换后做一次量纲、奇偶性或初终值检查。

真正需要背的是少量基本变换对；其余结果应由性质推出。公式背得越散，越容易把连续/离散、单边/双边、线性/循环卷积混在一起。

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