速成 · 计算机图形学

计算机图形学不是“会调用 OpenGL 就行”，它真正研究的是：怎样把对三维世界的描述，稳定、高效地变成二维屏幕上的像素。

课件的 11 讲可以压成一条流水线：

如果只剩几个小时，先把下面六个问题想明白。

一、一个点怎样走到屏幕上

齐次坐标把平移也纳入矩阵乘法。列向量约定下，一个物体坐标点依次经过

$$\mathbf p_{clip}=PVM\mathbf p_{object}.$$

• $M$：把局部模型摆进世界。
• $V$：把世界改写到以相机为原点的坐标系。
• $P$：把可见空间映到裁剪空间。

随后做透视除法

$$\mathbf p_{ndc} =\left( \frac{x_c}{w_c}, \frac{y_c}{w_c}, \frac{z_c}{w_c} \right),$$

再由视口变换把 $[-1,1]^2$ 映到屏幕像素。矩阵乘法不可交换，所以代码里矩阵写反会直接得到另一种几何效果。

正交投影没有“近大远小”；透视投影让远处物体因除以深度而缩小。法线不能一律乘模型矩阵：非均匀缩放下，应使用

$$\mathbf n'=(M^{-1})^T\mathbf n.$$

二、连续三角形怎样变成离散像素

裁剪先去掉视锥外的部分。线段可用 Cohen–Sutherland 区域码快速接受、拒绝或求交；多边形可依次对四条裁剪边执行 Sutherland–Hodgman。

光栅化则问：哪些像素中心落在三角形内？对三个有向边函数同号即可判内。只扫描三角形包围盒，并增量更新边函数，比逐像素重新求直线方程更快。

三角形顶点属性用重心坐标插值：

$$\mathbf p=\alpha\mathbf a+\beta\mathbf b+\gamma\mathbf c, \qquad \alpha+\beta+\gamma=1.$$

颜色、深度、法线和纹理坐标都可沿用这套权重。但透视投影后，纹理坐标不能直接做屏幕空间线性插值，而要先插值 $u/w$ 与 $1/w$，最后相除。

锯齿、摩尔纹和错误运动感都是采样不足的不同表现。空间反走样的核心不是“把边缘抹糊”，而是先低通、再采样。最直观的实现是每像素多次采样后取平均。

三、谁挡住谁

背面剔除可先删掉朝向远离相机的三角形，但不能解决物体间遮挡。Painter 算法按远到近画，遇到相交或循环遮挡会失效；BSP 能预先建立空间顺序，但动态场景不方便。

实时光栅化通常使用 Z-buffer：

1. 深度缓冲初始化为最远值。
2. 每个片元算出插值深度。
3. 只有比当前记录更近的片元才能写颜色，并更新深度。

它把全局排序改成了每像素的局部比较，复杂度近似与产生的片元数成正比。

四、为什么同一个面会有明暗

课件采用局部 Blinn–Phong 模型：

$$L=L_a+ k_d I\max(0,\mathbf n\cdot\mathbf l) + k_s I\max(0,\mathbf n\cdot\mathbf h)^p.$$

$\mathbf n$ 是法线，$\mathbf l$ 指向光源，$\mathbf h$ 是光线与视线的半程向量。环境项防止背光面全黑；漫反射决定大体明暗；镜面项形成高光，指数 $p$ 越大，高光越尖。

“模型”和“计算频率”要分开：

• Flat：每个三角形算一次，棱角明显。
• Gouraud：每顶点算光照，再插值颜色，可能漏掉小高光。
• Phong shading：插值法线，再逐片元算光照，最平滑。

五、纹理和阴影在补什么信息

纹理映射为表面建立 $(u,v)$ 坐标，再从纹理图反查颜色。放大时可用双线性插值；缩小时一个像素覆盖很多纹素，单点采样会闪烁。Mipmap 预先存储逐级低通降采样图，按像素足迹选择层级；三线性插值再在相邻两级间过渡。各向异性过滤用于细长而倾斜的像素足迹。

Bump Mapping 不增加几何，只扰动法线，因此轮廓不会变；Displacement Mapping 真正移动表面，需要足够细的网格。

Shadow Mapping 做两遍渲染：

1. 从光源看场景，记录最近深度。
2. 从相机看场景，把片元投回光源坐标，比较它与 Shadow Map 中的深度。

深度误差会产生自阴影斑点，需要 bias；分辨率不足造成锯齿，可用 Percentage Closer Filtering 多点比较后求平均。

六、曲线、曲面与网格怎样表示形状

几何表示没有绝对最优。隐式曲面 $f(x,y,z)=0$ 容易做内外判断和布尔运算，却不易直接枚举表面点；显式参数曲面 $\mathbf p(u,v)$ 容易采样和绘制，却未必容易判断内外。点云、三角网格、 Bezier 曲线和细分曲面都是显式表示。

三次 Bezier 曲线由四个控制点决定：

$$\mathbf B(t)= (1-t)^3\mathbf P_0+ 3(1-t)^2t\mathbf P_1+ 3(1-t)t^2\mathbf P_2+ t^3\mathbf P_3.$$

它插值首尾点、位于控制点凸包内，并具有仿射不变性。复杂形状通常拼接低次曲线；位置相接是 $C^0$，一阶导数也相接才是 $C^1$。Bezier 曲面是两个参数方向上的张量积。

三角网格把几何位置和连接关系分开。半边结构把一条无向边拆成方向相反的两条半边，用 twin、next、face 等指针把邻域查询降到局部操作。Loop 细分提升三角网格分辨率；Quadric Error Metric 通过边折叠并累计到邻接平面的平方距离来做简化。

最后记住的做题顺序

1. 先标清当前坐标系和矩阵作用方向。
2. 再分清顶点阶段、光栅化阶段和片元阶段。
3. 插值题先写重心坐标；有透视就检查是否需要除以 $w$。
4. 可见性题先区分背面剔除、深度测试与阴影，它们解决的是三个不同问题。
5. 光照题先画出 $\mathbf n,\mathbf l,\mathbf v,\mathbf h$，再代公式。
6. 网格题先区分几何数据和连接关系，再讨论局部编辑或细分。

这条主线走通后，11 讲课件就不再是互不相干的算法，而是同一张图形流水线上的不同工位。