速成 · 抽象代数 | L.D.J 的私家工坊

从群走到环、域，课程每次都按同一套办法认识新对象：先规定集合上能做什么运算，再研究保持运算的映射，最后用子结构和商结构拆开复杂对象。群只保留一种可逆运算；环同时保留加法和乘法；域则要求非零元素还能做除法。

结构之间的关系

对象	最值得盯住的结构	对应的映射	典型的商
群 $G$	子群、正规子群、群作用	群同态	$G/N$ ，其中 $N\trianglelefteq G$
环 $R$	子环、理想、素理想、极大理想	环同态	$R/I$ ，其中 $I\trianglelefteq R$
域 $F$	子域、域扩张、有限域	域同态	不按非零理想取商

同态基本定理是两条主线共同的骨架：

G/\ker\varphi\cong\operatorname{Im}\varphi, \qquad R/\ker\varphi\cong\operatorname{Im}\varphi.

因此看到“证明某个商群/商环与另一个对象同构”，优先尝试构造一个满同态，再算核。

群论速解

子群与正规子群

验证非空子集 $H\subseteq G$ 是子群，最省事的判据是

a,b\in H\Longrightarrow ab^{-1}\in H.

要在商集上定义乘法， $H$ 还必须正规：

gHg^{-1}=H\quad(\forall g\in G).

常用的充分条件有： $G$ 交换； $[G:H]=2$ ； $H$ 是某个同态的核； $H$ 是给定阶数的唯一子群。

陪集与 Lagrange 定理

有限群中每个陪集都与子群等势，所以

|G|=[G:H]|H|.

立刻得到元素阶和子群阶都整除群阶。若 $|G|=p$ 为素数，取任意 $a\ne e$ ，则 $o(a)=p$ ，故 $G=\langle a\rangle$ 。

群作用、轨道和稳定子

对 $x\in X$ ，记

Gx=\{g\cdot x:g\in G\},\qquad G_x=\{g\in G:g\cdot x=x\}.

有限情形有轨道—稳定子公式 $|Gx|=[G:G_x]$ 。共轭作用下，轨道就是共轭类，稳定子就是中心化子。这是很多“轨道长度相等”“求共轭类”的证明入口。

Burnside 计数

有限群 $G$ 作用在有限集 $X$ 上时，轨道数为

|X/G|=\frac1{|G|}\sum_{g\in G}|\operatorname{Fix}(g)|.

手镯题必须同时计旋转和反射，也就是使用二面体群，而不只是循环群。做题时不要直接背总和：先把每种对称变换写成位置上的轮换，再数每个轮换可以独立选几种颜色。

环论速解

理想为何比子环重要

商环的乘法要与代表元无关，所需条件正是理想：对 $a\in I,r\in R$ ，有 $ra,ar\in I$ 。环同态的核一定是理想。

在含幺交换环中：

$I$ 是极大理想，当且仅当 $R/I$ 是域；
$I$ 是素理想，当且仅当 $R/I$ 是整环。

在主理想整环 $F[x]$ 中，非零真理想都形如 $(f)$ 。于是 $(f)$ 极大，当且仅当 $f$ 不可约。

中国剩余定理

若理想 $I_1,\ldots,I_n$ 两两互素，则

R/(I_1\cap\cdots\cap I_n) \cong R/I_1\oplus\cdots\oplus R/I_n.

整数同余题中，把模数写成 $m_i$ ，令 $M=\prod m_i$ 、 $M_i=M/m_i$ ，再求 $M_i$ 在模 $m_i$ 下的逆元 $u_i$ ：

x\equiv\sum_i a_iM_iu_i\pmod M.

域扩张与有限域

若 $\alpha$ 在 $F$ 上的最小多项式为 $m_\alpha(x)$ ，次数是 $n$ ，则

F(\alpha)\cong F[x]/(m_\alpha), \qquad [F(\alpha):F]=n,

且每个元素都能唯一写成 $1,\alpha,\ldots,\alpha^{n-1}$ 的线性组合。求逆元最稳的方法是对 $m_\alpha(x)$ 与目标多项式做扩展 Euclid。

有限域的元素个数必为素数幂 $q=p^n$ ；反过来每个素数幂都存在且同阶有限域同构。 $F_q$ 上 $n$ 次不可约多项式的根落在 $F_{q^n}$ 中，并且

x^{q^n}-x

恰是所有次数整除 $n$ 的首一不可约多项式之积。

若不可约多项式 $f(x)\ne x$ 的次数为 $n$ ，它的周期是 $x+(f)$ 在 $F_q[x]/(f)$ 的乘法群中的阶，因而整除 $q^n-1$ 。周期恰为 $q^n-1$ 时， $f$ 是本原多项式。

LFSR 与循环码怎么接上

$\mathbb F_2$ 上的 $n$ 阶线性递推可以由连接多项式描述；把连续 $n$ 位看成寄存器状态，每次移位并按系数异或反馈。若连接多项式本原，任一非零初态都会遍历全部 $2^n-1$ 个非零状态，得到最大长度序列。

同一套多项式除法还能做循环码。课件取

g(x)=x^4+x+1,

用所有 $g(x)h(x)$ （ $\deg h\leq10$ ）组成二元 $(15,11)$ 码。收到多项式后除以 $g$ ：余数为零表示没有检测到错误；单个比特翻转时，余数等于某个 $x^k\bmod g$ 。因为 $g$ 的周期为 $15$ ，十五个非零余数互不相同，所以余数既能发现单错，也能定位并纠正它。

考场检查单

同态题：先查运算保持，再求核和像，不要只写“显然同构”。
商群题：先验证正规；商环题：先验证理想。
极大/素理想题：转化为商环是域/整环通常最快。
置换先拆成不交循环；阶是各循环长度的最小公倍数，奇偶性由换位个数判断。
域扩张中的高次幂先用最小多项式降次。
有限域存在性只认素数幂；“有 $n$ 个元素的域”不是任意 $n$ 都行。
Burnside 题逐类数不动点；手镯与项链的群不同。
中国剩余定理最后把答案化到一个完整模周期内，并按题意取最小正整数。

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