速成 · 基础物理学 A（2）

热学、振动与波、光学、量子物理放在同一学期，跨度确实很大。做题时反复用到的思想主要有三种：

1. 大量微粒取统计平均：从分子运动得到温度、压强、分布和熵；
2. 线性波按振幅和相位叠加：从振动走到机械波、干涉、衍射、偏振；
3. 边界条件筛选允许状态：从驻波走到能级、波函数和原子量子数。

模块与题型

模块	核心问题	必会计算
热学	宏观状态为什么稳定、过程向哪走	状态方程、速率分布、热力学过程、循环、熵变
振动与波	一个局部振动怎样传播和叠加	简谐初值、相量、阻尼受迫、波函数、驻波、Doppler
波动光学	光程差怎样变成明暗与偏振	双缝、薄膜、Newton 环、衍射、光栅、Malus
早期量子论	经典物理在哪些实验上失败	黑体、光电、Compton、Bohr 能级
量子初步	怎样用概率幅描述微观状态	de Broglie、不确定关系、归一化、势阱、量子数

热学：先分状态和路径

理想气体：

$$pV=\nu RT=Nk_BT.$$

动理论：

$$p=\frac13nm\overline{v^2}, \qquad \overline{\varepsilon_k}=\frac32k_BT.$$

三个特征速率：

$$v_p=\sqrt{\frac{2RT}{M}}, \quad \bar v=\sqrt{\frac{8RT}{\pi M}}, \quad v_{\mathrm{rms}}=\sqrt{\frac{3RT}{M}}.$$

分布题牢记：函数值不是区间概率，面积才是。

平均自由程：

$$\lambda=\frac{k_BT}{\sqrt2\pi d^2p}.$$

黏性、热传导、扩散都可理解为“分子跨过截面，搬运某种量以削弱梯度”。

第一定律统一做题

本课程符号约定：

$$Q=\Delta U+W, \qquad W=\int p\,\mathrm dV.$$

对理想气体：

$$\Delta U=\nu C_V\Delta T.$$

过程	条件	功与热
等体	$V$ 不变	$W=0,\ Q=\Delta U$
等压	$p$ 不变	$W=\nu R\Delta T,\ Q=\nu C_p\Delta T$
等温	$T$ 不变	$\Delta U=0,\ W=Q=\nu RT\ln(V_2/V_1)$
可逆绝热	$Q=0$	$pV^\gamma=\text{常量},\ W=-\Delta U$

循环一周 $\Delta U=0$；$p$-$V$ 图围成面积是净功。

卡诺：

$$\eta_C=1-\frac{T_C}{T_H}.$$

第二定律：

$$\oint\frac{\delta Q}{T}\le0, \qquad \Delta S_{\mathrm{isolated}}\ge0.$$

熵是状态量。不可逆过程也要找连接同样初末态的可逆路径算熵变，不能把真实路径上的 $\delta Q/T$ 随手当 $\mathrm dS$。

振动与机械波：盯住相位

简谐振动：

$$x=A\cos(\omega_0t+\varphi), \qquad \omega_0=\sqrt{\frac km}.$$

由初值：

$$A=\sqrt{x_0^2+\left(\frac{v_0}{\omega_0}\right)^2}.$$

相位要根据 $x_0$ 和 $v_0$ 的符号判断象限。

受迫阻尼：

$$m\ddot x+b\dot x+kx=F_0\cos\omega t.$$

暂态会衰减，稳态与驱动同频；共振是供能节奏与系统响应匹配，不是“频率一相等就一定无限大”。

右行波：

$$y=A\cos(\omega t-kx+\varphi_0).$$

检验传播方向的方法：固定相位，算 $\mathrm dx/\mathrm dt$ 的符号。

两相干波在观察点的总相位差：

$$\Delta\varphi =\Delta\varphi_0-\frac{2\pi}{\lambda}(r_2-r_1).$$

不要在源反相时仍套“整数波长相长”。

驻波：

$$y=2A\cos kx\cos\omega t.$$

相邻波节 $\lambda/2$，波节到波腹 $\lambda/4$。固定端是位移波节，自由端是位移波腹。

Doppler 先做方向判断：靠近应升频，远离应降频，再代

$$\nu'=\nu\frac{u+v_o}{u-v_s}.$$

波动光学：把所有题还原成光程差

光程 $L=nr$，相位差

$$\Delta\varphi=\frac{2\pi}{\lambda_0}\delta +\Delta\varphi_{\mathrm{extra}}.$$

Young 双缝：

$$\delta\approx\frac{dx}{D}, \qquad \Delta x=\frac{\lambda D}{d}.$$

薄膜反射光：

$$\delta_{\mathrm{geo}}=2ne\cos r.$$

再逐个界面判断是否只有一次从低折射率到高折射率的反射；若是，加半波损失 $\lambda_0/2$。反射明暗条件不能脱离介质顺序死背。

Newton 暗环：

$$r_k^2=k\lambda R.$$

Michelson 镜面移动：

$$2\Delta d=N\lambda.$$

单缝暗纹：

$$a\sin\theta=k\lambda.$$

光栅主极大：

$$d\sin\theta=k\lambda.$$

单缝暗纹与光栅主极大同时满足就缺级。

偏振：

$$I=I_0\cos^2\theta, \qquad \tan i_B=\frac{n_2}{n_1}.$$

波片题把光分成快、慢轴两个正交分量，再看振幅比和相位差。

量子：每个公式都对应一次经典失败

黑体：

$$E=\sigma T^4, \qquad \lambda_mT=b, \qquad \varepsilon=h\nu.$$

光电效应：

$$h\nu=A+eU_s.$$

频率决定单光子能量和最大初动能，光强主要决定电子数和电流。

Compton：

$$\Delta\lambda= \frac{h}{m_ec}(1-\cos\theta).$$

Bohr 氢原子：

$$E_n=-\frac{13.6\ \mathrm{eV}}{n^2}, \qquad h\nu=E_i-E_f.$$

向低能级跃迁发光；负能量表示束缚态。

量子力学：从波长到概率

de Broglie：

$$\lambda=\frac hp.$$

不确定关系：

$$\Delta x\,\Delta p_x\ge\frac{\hbar}{2}.$$

波函数：

$$\rho=|\psi|^2, \qquad \int|\psi|^2\,\mathrm dV=1.$$

含时薛定谔方程：

$$i\hbar\frac{\partial\psi}{\partial t} =\hat H\psi.$$

无限深势阱：

$$\psi_n=\sqrt{\frac2a}\sin\frac{n\pi x}{a}, \qquad E_n=\frac{n^2\pi^2\hbar^2}{2ma^2}.$$

概率题对 $|\psi|^2$ 积分，不对 $\psi$ 直接积分。

氢原子四个量子数：

$$n,\quad l=0,\ldots,n-1,\quad m_l=-l,\ldots,l,\quad m_s=\pm\frac12.$$

Pauli 原理给出每个轨道最多两个自旋相反电子，一层最多 $2n^2$ 个。

最后十分钟检查

• 热力学符号约定是否前后一致；
• 温度是否用 K；
• 状态量和过程量是否混淆；
• 波函数中的正负号是否真对应传播方向；
• 干涉是否漏了初相和半波损失；
• 衍射题问的是暗纹、主极大还是分辨率；
• 光电题是否把光强和频率作用写反；
• 跃迁能量是否取初能量减末能量的正值；
• 概率是否用 $|\psi|^2$；
• 量子数取值范围和简并数是否数全。